Pythagoras sats

De två sidorna som ligger bredvid den räta vinkeln (rutan) kallar vi för kateter. Vi ger dem beteckningarna a och b. Sidan som ligger längst ifrån den räta vinkeln (rutan) kallar vi för hypotenusan, vilket vi ger beteckningen c.

Pythagoras sats anger följande samband för sidorna i rätvinkliga trianglar:

a^2+b^2=c^2

A och b är längden på kateterna och c är längden på hypotenusan. Det spelar ingen roll vilken av de två kateterna vi sätter som a respektive b. 

Räkneexempel och förklaringar

Vi kan nu testa sambandet på en rätvinklig triangel med sidorna 3 cm, 4 cm och 5 cm.  

Sidorna som ligger intill den räta vinkeln (rutan) är kateter. Kateterna, som vi kallar för a och b, är alltså 3 cm respektive 4 cm långa. Hypotenusan, som vi kallar för c, är 5 cm lång. Vi sätter in det i vår ekvation a^2+b^2=c^2 och får att 3^2+4^2=5^2.

När vi har ett tal upphöjt till 2 innebär det att vi multiplicerar talet med sig självt. Det innebär alltså att 3^2={3}\cdot{3}=9.

Vi vill nu se om sambandet stämmer genom att undersöka om vänsterled (uttrycket till vänster om likamedtecknet) är lika med högerled (uttrycket till höger om likamedtecknet). Vi förenklar vänsterled på följande vis:

3^2+4^2= {3}\cdot{3}+{4}\cdot{4}= 9+16= 25

Sedan förenklar vi högerled:

5^2= {5}\cdot{5}= 25

Vi har alltså visat att vänsterled 3^2+4^2 är lika med högerled 5^2 och därmed att sambandet 3^2+4^2=5^2 stämmer.

---

Om vi vet längden av två sidor i en rätvinklig triangel kan vi alltid räkna ut längden av den tredje sidan med hjälp av Pythagoras sats. 

Låt oss säga att vi har en rätvinklig triangel med sidlängderna 6 cm och 8 cm enligt bilden. Den tredje sidan är dock okänd och vi kallar den för x. Vi vill ta reda på längden av den okända sidan.

Vi vet att våra två sidor 6 cm och 8 cm är kateter eftersom de ligger intill den räta vinkeln. Det innebär att c är hypotenusan. Vi sätter in kateternas värden i ekvationen a^2+b^2=c^2 och får att 6^2+8^2=c^2. 

Vi börjar med att förenkla vänsterled.

6^2+8^2= {6}\cdot{6}+{8}\cdot{8}= 36+64= 100

Alltså gäller att 100=x^2. När vi löser ut en variabel, som x, vill vi alltid att den ska stå ensamt. Vi vill alltså skriva om x^2 till endast x, vilket vi kan göra genom att ta kvadratroten ur båda sidorna.

x^2=100 x=\sqrt{100}=10

Vi får alltså att x är 10 cm. Var noga med att inte glömma enheten när du anger svaret.

---

Det behöver inte alltid vara hypotenusan som är den obekanta sidan i triangeln. Låt oss säga att vi har en rätvinklig triangel med sidlängderna 9 dm och 15 dm enligt bilden. Vi vill ta reda på längden av den okända sidan.

Vi kallar den okända sidan för x. Sidorna 9 dm och x står intill den räta vinkeln, vilket betyder att de är kateter a och b. Sidan 15 dm är hypotenusan och vi kallar den för c. Vi sätter in det i ekvationen a^2+b^2=c^2 och får att 9^2+x^2=15^2. 

Vi börjar med att förenkla termerna där vi har siffror, alltså 9^2 och 15^2.

9^2+x^2=15^2 {9}\cdot{9}+x^2={15}\cdot{15} 81+x^2=225

Sedan subtraherar vi båda leden med 81. Det gör så att termen 81 flyttas över till andra sidan likamedtecknet och då kommer x^2 att stå ensamt.

81+x^2-81=225-81 x^2=144

Vi tar nu kvadratroten ur båda sidorna för att skriva om x^2 till endast x.

x=\sqrt{144}=12

Vi får alltså att x är 12 dm.