Venndiagram

Venndiagram är diagram som visar hur olika mängder hänger ihop. I venndiagram så representeras en mängd av en geometrisk figur (vanligtvis en cirkel), och genom att visa hur dessa figurer överlappar kan vi illustrera vilka gemensamma delar de två mängderna har. För att ange ett förhållande mellan två mängder så markerar man ett visst område i diagrammet.

Venndiagram är fundamentalt i mängdlära då det tillåter oss att visualisera hur mängder hör ihop. Därifrån kan man även applicera venndiagram på till exempel kombinatorik och sannolikhetslära.


Räkneexempel och förklaringar för venndiagram:

Exempel: Låt A = \{ 1,3,5,7,9\} och B = \{ 3,4,5,6,7,8\} .

a) Rita ett venndiagram över mängderna!

Vi vill rita ett venndiagram. Då kan vi börja med att rita två överlappande cirklar, en cirkel som representerar A och en som representerar B:

Nu vill vi fylla de här cirklarna med talen i mängderna. Vi kan börja med att se på vilka tal som ska vara i området där cirklarna överlappar. Det är de tal som finns i både mängden A och mängden B, dvs 3, 5 och 7. Skriver vi in dessa så får vi

Nu vill vi fylla i resten av talen. I cirkeln som representerar A så har vi nu redan fyllt i 3, 5 och 7, så det är bara 1 och 9 som saknas. Då fyller vi i dem talen i cirkel A men inte i den del där cirklarna överlappar:

På samma sätt så saknar cirkel B talen 4, 6 och 8, så vi fyller i dem:

och så var vi klara! De vi kan kolla lite extra på är att cirkel A har exakt talen 1, 3, 5, 7 och 9, dvs exakt mängden A. Det är ju det viktiga med ett venndiagram! På samma sätt har cirkel B exakt de tal som är med i mängden B.

b) Markera unionen A \cup B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \cup B alla områden som A tar upp tillsammans med alla områden som B tar upp. Alltså får vi att A \cup B ser ut som

Härifrån kan vi även se att mängden A \cup B har medlemmarna A \cup B = \{ 1,3,4,5,6,7,8,9\} , eftersom alla de talen är täckta av markeringen.

c) Markera differensen A \setminus B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \setminus B de områden som täcks av A men inte av B. Med andra ord så är det hela A-cirkeln, förutom den del som överlappar med B. Därför får vi

Alltså har  A \setminus B medlemmarna  A \setminus B = \{ 1, 9 \} .

d) Markera snittet A \cap B i venndiagrammet!

I venndiagram så innebär A \cap B alla områden som tas upp av både A och B på samma gång. Med andra ord så är A \cap B området där A och B överlappar. Alltså får vi att A \cap B ser ut som

Alltså har  A \cap B medlemmarna  A \cap B = \{ 3, 5, 7\} .


Exempel: Låt A, B och C vara mängder

a) Markera A \cap B \cap C i ett venndiagram.

Vi kan lösa det här steg för steg. Låt oss börja med att rita tre överlappande cirklar, en för varje mängd. 

Låt oss nu först dela upp uppgiften som  (A \cap B) \cap C och först markera snittet A \cap B . Det är alltså de områden som tas upp av både A och B på samma gång. Då får vi

Nu vill vi hitta snittet mellan C och det markerade området A \cap B . Då får vi

Som är svaret!

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Rätt svar markeras i grönt.

Fråga 1: I venndiagrammet, vad är mängden B?

Svarsalternativ 1.1:  \{ 1 \}
Svarsalternativ 1.2:  \{ 3, 5 \}
Svarsalternativ 1.3:  \{ 1, 3, 5 \}
Svarsalternativ 1.4:  \{ 1, 2,3, 4, 5, 8 \}

Fråga 2: I venndiagrammet, vad är mängden A \cup B ?

Svarsalternativ 2.1:  \{ 3, 5 \}
Svarsalternativ 2.2:  \{ 1, 3, 5 \}
Svarsalternativ 2.3:   \{ 2, 3, 4, 5, 8 \}
Svarsalternativ 2.4:   \{ 1, 2,3, 4, 5, 8 \}

Fråga 3:  I venndiagrammet, vad är mängden A B ?

Svarsalternativ 3.1: \{ 1 \}
Svarsalternativ 3.2: \{ 1, 3, 5 \}
Svarsalternativ 3.3: \{ 2, 4, 8 \}
Svarsalternativ 3.4: \{ 2, 3, 4, 5, 8 \}

Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Läxhjälp i alla ämnen

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!