Trigonometri

Trigonometri – sin, cos och tan

Formler för trigonometriska funktioner:

sin\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{hypotenusa}

cos\;v=\frac{n\"arliggande\;katet}{hypotenusa}

tan\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{n\"arliggande\;katet}

För varje vinkel, v, finns alltså ett visst värde för sinus, cosinus och tangens. Sin, cos och tan är alltså inte ett tal som vi multiplicerar med vinkeln, v, utan en benämning på en funktion. Värdet för funktionerna vid en viss vinkel får vi via vår miniräknare, som har funktionerna inprogrammerade.

Om vi har värdet på en av triangelns sidor och en av triangelns vinklar (förutom den räta vinkeln), så kan vi ta reda på värdet av en av de obekanta sidorna med hjälp av sinus, cosinus eller tangens. Vi ser ett exempel på detta nedan.

Vad är trigonometri?

Trigonometri beskriver sambandet mellan sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar. En rätvinklig triangel är en triangel som innehåller en rät, 90-gradig vinkel. Den räta vinkeln markeras med en liten kvadrat i hörnet (□). 

De två sidorna som ligger bredvid den räta vinkeln (rutan) kallar vi för kateter. Den återstående sidan, som ligger mitt emot den räta vinkeln (hörnet med kvadraten) kallar vi för hypotenusan.

Om man utgår ifrån en viss vinkel i en rätvinklig triangel så kommer det att finnas en katet som är längre bort och en som är närmre. Kateten som är längst bort från vinkeln kallar vi i trigonometriska sammanhang för motstående katet. Den närmare kateten kallar vi för närliggande katet. 

Det är viktigt att notera att vilken katet som är närliggande respektive motstående varierar beroende på vilken vinkel man väljer att utgå ifrån. Nedan ser vi en rätvinklig triangel där vi har utgått från vinkeln v som finns i triangelns högra hörn.

Det är relationen mellan dessa sidor och vinklar som vi kommer gå igenom i det här avsnittet.

Trigonometriska värden i standardvinklar

När du börjar jobba med trigonometri kan det vara en bra idé att skapa en lathund med värdena för sinus, cosinus och tangens i de så kallade standardvinklarna. Dessa vinklar har exakta värden och är därför lättare att komma ihåg. 

Vinkel v	0°	30°	45°	60°	90°
sin v	0	12	12	32	1
cos v	1	32	12	12	0
tan v	0	33	1	3	Ej definierbar

Lägg gärna lathunden i matteboken så att du kan ha den nära till hands när du jobbar med trigonometriska funktioner. På så sätt får du en snabb påminnelse varje gång du öppnar boken vilket kommer hjälpa dig att memorera dem.

Exempel: Bestäm längden av sidan x. Svara i centimeter (cm). Avrunda till en decimal.

Svar: 5,7\;cm

Lösning: Vi har värdet på en vinkel, som är 45^\circ, och längden av hypotenusan, som är 8,1\;cm. Sett utifrån den 45-gradiga vinkelns perspektiv är sidan x en motstående katet. 

Vi vill alltså använda ett samband som inkluderar en vinkel, hypotenusan och en motstående katet. Sinusfunktionen uppfyller detta, eftersom den anger sambandet

sin\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{hypotenusa}.

Vi ska därmed använda sinus för att ta reda på vinkeln.

sin\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{hypotenusa}

Vi sätter in värdena för vår vinkel och hypotenusan. Vi ersätter även den motstående kateten med x.

sin\;45^\circ=\frac{x}{8,1}

Vi vill bestämma värdet av x. Därför vill vi att x ska stå ensamt till höger om likamedtecknet. Vi flyttar över 8,1 så att x kan stå ensamt, vilket vi gör genom att multiplicera båda sidorna med 8,1.

sin\;45^\circ=\frac{x}{8,1}

{sin\;45^\circ}\cdot{8,1}=\frac{x}{8,1}\cdot{8,1}

{sin\;45^\circ}\cdot{8,1}=x

Nu behöver vi endast bestämma värdet på uttrycket {sin\;45^\circ}\cdot{8,1}. Vi börjar med att hitta ett värde för sin\;45^\circ.

Vi bestämmer värdet av sin\;45^\circ med hjälp av en miniräknare. Vi trycker först på knappen “sin” och knappar sedan in 45. Vi trycker på “enter” och får då värdet på sin\;45^\circ.

sin\;45^\circ\approx0,70711

Vi sätter in värdet av sin\;45^\circ i ekvationen x={sin\;45^\circ}\cdot{8,1}.

x={sin\;45^\circ}\cdot{8,1}

x={0,70711}\cdot{8,1}

Vi beräknar nu produkten {0,70711}\cdot{8,1} i högerled.

x={0,70711}\cdot{8,1}=

5,72756\;cm

Vi avrundar till en decimal och får att sidan x har längden 5,7\;cm.

---

Om vi istället vet två av sidorna i en rätvinklig triangel och vill ta reda på en av vinklarna, så använder vi oss av någonting som kallas för en invers trigonometrisk funktion. De inversa funktionerna skrivs som sin^{-1}, cos^{-1} och tan^{-1}, eller arcsin, arccos och arctan. 

Precis som med de vanliga trigonometrisk funktionerna så finns de inversa funktionerna inprogrammerade i din miniräknare.

Om vi har en ekvation där vi vill ta reda på vinkeln v, som exempelvis sin\;v=\frac{1}{2}, så kan vi lösa den genom att ta den inversa funktionen av sinus på båda sidorna. 

sin\;v=\frac{1}{2}

sin^{-1}(sin\;v)=sin^{-1}\frac{1}{2}

Termerna sin^{-1} och sin tar ut varandra i vänsterled. Kvar blir vinkeln v. 

v=sin^{-1}\frac{1}{2}

Vi behöver nu endast beräkna värdet av uttrycket i högerled, sin^{-1}\frac{1}{2}, vilket vi gör med vår miniräknare.

v=sin^{-1}\frac{1}{2}= 30^\circ

Vi får att vinkeln v är 30^\circ.

Vi använder oss alltså av just sin^{-1} eftersom vi har sin\;v i vänsterled. Skulle det stå cos\;v så hade vi använt oss av cos^{-1}.

---

Exempel: Bestäm vinkeln v. Svara i hela grader (°).

Svar: 54^\circ

Lösning: Vi har längden av en katet, som är 1,3\;dm, och längden av hypotenusan, som är 2,2\;dm. Sett utifrån vinkeln v:s perspektiv är den 1,3\;dm långa kateten en närliggande katet. 

Vi vill alltså använda ett samband som inkluderar en vinkel, hypotenusan och en närliggande katet. Cosinusfunktionen uppfyller detta, eftersom den ger sambandet cos\;v=\frac{n\"arliggande\;katet}{hypotenusa}. Vi ska därmed använda cosinus för att ta reda på vinkeln.

cos\;v=\frac{n\"arliggande\;katet}{hypotenusa}

Vi sätter in längderna av den närliggande kateten och hypotenusan i sambandet.

cos\;v=\frac{1,3}{2,2}

Vi vill att v ska stå ensamt i vänsterled, alltså vill vi flytta över cosinus från vänsterled till högerled. Vi använder därför den inversa cosinusfunktionen, som skrivs cos^{-1}, på båda sidor. 

cos^{-1}(cos\;v)=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}

Termerna cos^{-1} och cos tar ut varandra i vänsterled. Kvar blir vinkeln v. 

v=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}

Vi beräknar nu värdet av cos^{-1}\frac{1,3}{2,2} på vår miniräknare.

v=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}\approx

53,78^\circ

Vi avrundar till hela grader och får att vinkeln v är 54^\circ.