Trigonometri

Trigonometri beskriver sambandet mellan sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar. En rätvinklig triangel är en triangel som innehåller en rät, 90-gradig vinkel. Den räta vinkeln markeras med en liten kvadrat i hörnet (□). 

De två sidorna som ligger bredvid den räta vinkeln (rutan) kallar vi för kateter. Den återstående sidan, som ligger mitt emot den räta vinkeln (hörnet med kvadraten) kallar vi för hypotenusan.

Om man utgår ifrån en viss vinkel i en rätvinklig triangel så kommer det att finnas en katet som är längre bort och en som är närmre. Kateten som är längst bort från vinkeln kallar vi i trigonometriska sammanhang för motstående katet. Den närmare kateten kallar vi för närliggande katet. 

Det är viktigt att notera att vilken katet som är närliggande respektive motstående varierar beroende på vilken vinkel man väljer att utgå ifrån. Nedan ser vi en rätvinklig triangel där vi har utgått från vinkeln v som finns i triangelns högra hörn.

Det är relationen mellan dessa sidor och vinklar som vi kommer gå igenom i det här avsnittet.

Exempel: Bestäm längden av sidan x. Svara i centimeter (cm). Avrunda till en decimal

Svar: 5,7\;cm

Lösning: Vi har värdet på en vinkel, som är 45^\circ, och längden av hypotenusan, som är 8,1\;cm. Sett utifrån den 45-gradiga vinkelns perspektiv är sidan x en motstående katet. 

Vi vill alltså använda ett samband som inkluderar en vinkel, hypotenusan och en motstående katet. Sinusfunktionen uppfyller detta, eftersom den anger sambandet

sin\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{hypotenusa}.

Vi ska därmed använda sinus för att ta reda på vinkeln.

sin\;v=\frac{motst{\aa}ende\;katet}{hypotenusa}

Vi sätter in värdena för vår vinkel och hypotenusan. Vi ersätter även den motstående kateten med x.

sin\;45^\circ=\frac{x}{8,1}

Vi vill bestämma värdet av x. Därför vill vi att x ska stå ensamt till höger om likamedtecknet. Vi flyttar över 8,1 så att x kan stå ensamt, vilket vi gör genom att multiplicera båda sidorna med 8,1.

sin\;45^\circ=\frac{x}{8,1} {sin\;45^\circ}\cdot{8,1}=\frac{x}{8,1}\cdot{8,1} {sin\;45^\circ}\cdot{8,1}=x

Nu behöver vi endast bestämma värdet på uttrycket {sin\;45^\circ}\cdot{8,1}. Vi börjar med att hitta ett värde för sin\;45^\circ.

Vi bestämmer värdet av sin\;45^\circ med hjälp av en miniräknare. Vi trycker först på knappen “sin” och knappar sedan in 45. Vi trycker på “enter” och får då värdet på sin\;45^\circ.

sin\;45^\circ\approx0,70711

Vi sätter in värdet av sin\;45^\circ i ekvationen x={sin\;45^\circ}\cdot{8,1}.

x={sin\;45^\circ}\cdot{8,1} x={0,70711}\cdot{8,1}

Vi beräknar nu produkten {0,70711}\cdot{8,1} i höger led.

x={0,70711}\cdot{8,1}= 5,72756\;cm

Vi avrundar till en decimal och får att sidan x har längden 5,7\;cm.

---

Om vi istället vet två av sidorna i en rätvinklig triangel och vill ta reda på en av vinklarna, så använder vi oss av någonting som kallas för en invers trigonometrisk funktion. De inversa funktionerna skrivs som sin^{-1}, cos^{-1} och tan^{-1}, eller arcsin, arccos och arctan. 

Precis som med de vanliga trigonometrisk funktionerna så finns de inversa funktionerna inprogrammerade i din miniräknare

Om vi har en ekvation där vi vill ta reda på vinkeln v, som exempelvis sin\;v=\frac{1}{2}, så kan vi lösa den genom att ta den inversa funktionen av sinus båda sidorna. 

sin\;v=\frac{1}{2} sin^{-1}(sin\;v)=sin^{-1}\frac{1}{2}

Termerna sin^{-1} och sin tar ut varandra i vänster led. Kvar blir vinkeln v. 

v=sin^{-1}\frac{1}{2}

Vi behöver nu endast beräkna värdet av uttrycket i höger led, sin^{-1}\frac{1}{2}, vilket vi gör med vår miniräknare.

v=sin^{-1}\frac{1}{2}= 30^\circ

Vi får att vinkeln v är 30^\circ.

Vi använder oss alltså av just sin^{-1} eftersom vi har sin\;v i vänster led. Skulle det stå cos\;v så hade vi använt oss av cos^{-1}.

---

Exempel: Bestäm längden av sidan x. Svara i centimeter (cm). Avrunda till en decimal

Svar: 54^\circ

Lösning: Vi har längden av en katet, som är 1,3\;dm, och längden av hypotenusan, som är 2,2\;dm. Sett utifrån vinkeln v:s perspektiv är den 1,3\;dm långa kateten en närliggande katet. 

Vi vill alltså använda ett samband som inkluderar en vinkel, hypotenusan och en närliggande katet. Cosinusfunktionen uppfyller detta, eftersom den ger sambandet cos\;v=\frac{n\"arliggande\;katet}{hypotenusa}. Vi ska därmed använda cosinus för att ta reda på vinkeln.

cos\;v=\frac{n\"arliggande\;katet}{hypotenusa}

Vi sätter in längderna av den närliggande kateten och hypotenusan i sambandet.

cos\;v=\frac{1,3}{2,2}

Vi vill att v ska stå ensamt i vänster led, alltså vill vi flytta över cosinus från vänster led till höger led. Vi använder därför den inversa cosinusfunktionen, som skrivs cos^{-1}, på båda sidor. 

cos^{-1}(cos\;v)=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}

Termerna cos^{-1} och cos tar ut varandra i vänster led. Kvar blir vinkeln v. 

v=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}

Vi beräknar nu värdet av cos^{-1}\frac{1,3}{2,2} på vår miniräknare.

v=cos^{-1}\frac{1,3}{2,2}\approx 53,78^\circ

Vi avrundar till hela grader och får att vinkeln v är 54^\circ.