Räta linjens ekvation

När det kommer till grafer så finns det troligen inget viktigare än räta linjen. Räta linjen beskriver inte enbart fasligt många samband inom naturvetenskap, ekonomi, o.s.v. men den har även ett stort användningsområde i matte för bland annat derivata och tangenter. Det är därför väldigt användbart att få ett bra grepp om räta linjen och dess ekvation.

Räta linjens ekvation är en ekvation på formen

y = k x + m

Där k anger linjens så kallade lutning, och m anger linjens skärningspunkt. Låt oss kolla på några exempel om hur man kan gå från räta linjens ekvation till en graf eller tvärtom.

Räkneexempel och förklaringar för räta linjens ekvation:

Exempel 1: Rita grafen till funktionen y = 3 x - 1

Svar: 100

Förklaring: Ett sätt vi kan lösa den här uppgiften är att vi kan räkna ut vad y är för en massa olika värden av x. För x  = 0: 

y = 3 \cdot 0 - 1 = -1

För x=1:

y = 3 \cdot 1 - 1 = 2

och så vidare. Om vi fortsätter så kan vi fylla i följande tabell:

x-3-2-10123
y-10-7-4-1258

Varje kolonn i tabellen motsvarar alltså en punkt i vår graf. Vi kan nu rita in dessa punkter i ett koordinatsystem:

Om vi nu drar streck mellan varje punkt så får vi vår graf:

Det här är en allmän metod som funkar för vilken funktion som helst. Men, det finns ett smartare sätt att gå tillväga. Vi ser på ekvationen i uppgiften att den är på formen y = k x + m (där k = 3 och m = -1). Alltså är ekvationen på formen av räta linjens ekvation, och vi vet därför att grafen kommer vara en rät linje. Därför behöver vi bara rita in två punkter i koordinatsystemet.

Och sedan kan vi ta vår linjal och rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.


Exempel 2: Rita grafen till funktionen y = 2 x + 2

Förklaring: Den här ekvationen är på formen y = k x + m. Alltså representerar ekvationen en rät linje! Vi kan då lösa den här uppgiften genom att ta fram två punkter och sedan rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.

Om vi säger att vår första punkt ska ha x-värdet 0 så får vi det motsvarande y-värdet

y = 2 \cdot 0 + 2 = 2

Så första punkten blir (0,2). För den andra punkten kan vi ta x-värdet 1 och då blir y-värdet

y = 2 \cdot 1 + 2 = 4

Så den andra punkten är (2,4). Om vi ritar in dessa två punkter i koordinatsystemet så får vi

Vi har kvar att göra nu är att dra en rät linje som går igenom de två punkterna. Då får vi

Vilket är svaret!


Hitta m och k

Om man har en linje i ett koordinatsystem och man vill hitta dess ekvation så måste man lista ut vad k och m är i räta linjens ekvation. m är det y-värde funktionen har när den skär y-axeln, dvs när x är noll. k kallas ofta för linjens lutning, och kan hittas genom att välja två punkter på linjen (x_1, y_1) och (x_2, y_2) och att använda formeln

k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Exempel 3: Hitta ekvationer till linjen i grafen

Förklaring: Eftersom grafen i uppgiften är en rät linje så kommer ekvationen vara räta linjens ekvation

y = k x + m

Vi vill därför hitta k och m. m finner vi genom att titta på var linjen skär y-axeln

Vi ser från figuren att den skär y-axeln vid y=-2. Därför har vi även att m = -2

Nu vill vi hitta k värdet, och då börjar vi med att välja ut två punkter ur grafen. Om vi kollar på t.ex. x = 1 så har grafen värdet y=0. Alltså är vår första punkt (x_1,y_1) = (1,0). Sedan kollar vi på till exempel x = 2 som har värdet y=2. Så vår andra punkt är (x_2,y_2) = (2,2). Vi kan nu stoppa in det i formeln för k och då får vi:

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2

Alltså är k=2, så linjens ekvation är

y = 2 x - 2

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Rätt svar markeras i grönt.

Fråga 1:  Vilken av följande ekvationer är en rät linje?

Svarsalternativ 1.1: y = x^2 - 1
Svarsalternativ 1.2: y = 2/x + x
Svarsalternativ 1.3: y =4^x
Svarsalternativ 1.4: y = 5x - 18

Fråga 2:  I ekvationen y = -2x + 4, vad är k och m?

Svarsalternativ 2.1: k = 2, \; m=4
Svarsalternativ 2.2: k = -2, \; m=4
Svarsalternativ 2.3: k = 2, \; m=-4
Svarsalternativ 2.4: k = -2, \; m=-4

Fråga 3: Vad är ekvationen för linjen i figuren?

Svarsalternativ 3.1: y = x + 3
Svarsalternativ 3.2: y = 3x
Svarsalternativ 3.3: y = 2x + 1
Svarsalternativ 3.4: y = 3x - 1

Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Läxhjälp i alla ämnen

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!