Räta linjens ekvation

Räkneexempel och förklaringar för räta linjens ekvation:

Exempel 1: Rita grafen till funktionen y = 3 x - 1

Svar: 100

Förklaring: Ett sätt som vi kan lösa den här uppgiften är att vi kan räkna ut vad y är för en mängd olika värden av x. För x  = 0: 

y = 3 \cdot 0 - 1 = -1

För x=1:

y = 3 \cdot 1 - 1 = 2

och så vidare. Om vi fortsätter så kan vi fylla i följande tabell:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-10	-7	-4	-1	2	5	8

Varje kolonn i tabellen motsvarar alltså en punkt i vår graf. Vi kan nu rita in dessa punkter i ett koordinatsystem:

Om vi nu drar ett rakt streck genom alla punkter så får vi vår graf:

Det här är en allmän metod som funkar för vilken funktion som helst. Men, det finns ett smartare sätt att gå tillväga. Vi ser på ekvationen i uppgiften att den är på formen y = k x + m (där k = 3 och m = -1). Alltså är ekvationen på formen av räta linjens ekvation, och vi vet därför att grafen kommer vara en rät linje. Därför behöver vi bara rita in två punkter i koordinatsystemet.

Och sedan kan vi ta vår linjal och rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.

---

Exempel 2: Rita grafen till funktionen y = 2 x + 2

Förklaring: Den här ekvationen är på formen y = k x + m. Alltså representerar ekvationen en rät linje! Vi kan då lösa den här uppgiften genom att ta fram två punkter och sedan rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.

Om vi säger att vår första punkt ska ha x-värdet 0 så får vi det motsvarande y-värdet

y = 2 \cdot 0 + 2 = 2

Så den första punkten blir (0,2). För den andra punkten kan vi ta x-värdet 1 och då blir y-värdet

y = 2 \cdot 1 + 2 = 4

Så den andra punkten är (2,4). Om vi ritar in dessa två punkter i koordinatsystemet så får vi

Det vi har kvar att göra nu är att dra en rät linje som går igenom de två punkterna. Då får vi

Vilket är svaret!

---

Hitta m och k

Om man har en linje i ett koordinatsystem och man vill hitta dess ekvation så måste man lista ut vad k och m är i räta linjens ekvation. m är det y-värde funktionen har när den skär y-axeln, dvs när x är noll. k kallas ofta för linjens lutning, och kan hittas genom att välja två punkter på linjen (x_1, y_1) och (x_2, y_2) och att använda formeln

k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

---

Exempel 3: Hitta ekvationen till linjen i grafen

Förklaring: Eftersom grafen i uppgiften är en rät linje så kommer ekvationen vara på formen av räta linjens ekvation

y = k x + m

Vi vill därför hitta k och m. m finner vi genom att titta på var linjen skär y-axeln

Vi ser från figuren att funktionen skär y-axeln vid y=-2. Därför kan vi se att m = -2. 

Nu vill vi hitta k värdet, och då börjar vi med att välja ut två punkter ur grafen. Om vi kollar på t.ex. x = 1 så har grafen värdet y=0. Alltså är vår första punkt (x_1,y_1) = (1,0). Sedan kollar vi på till exempel x = 2 som har värdet y=2. Så vår andra punkt är (x_2,y_2) = (2,2). Vi kan nu stoppa in det i formeln för k och då får vi:

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2

Alltså är k=2, så linjens ekvation är

y = 2 x - 2