Räta linjens ekvation

Vad är räta linjens ekvation?

Räta linjens ekvation är en ekvation på formen y = kx + m och beskriver ett linjärt samband mellan variablerna y och x. När du sätter in räta linjens ekvation i ett koordinatsystem får du just en rak linje med x- och y-koordinaterna som punkter på linjen. Vi tar och kollar närmare på de olika delarna av ekvationen.

K kallas för linjens riktningskoefficient och anger linjens lutning. Desto högre k-värdet är desto brantare är lutningen! Om k-värdet är negativt lutar linjen snett uppåt vänster och om det är positivt lutar det uppåt höger. Tänk på det som en backe, om värdet är negativt åker du kälke nedåt och är det positivt klättrar du uppåt.

M-värdet anger linjens skärningspunkt, alltså där linjen skär y-axeln. Ett positivt m-värde innebär att linjen skär y-axeln över origo (0,0) och ett negativt att det skär nedanför origo. Låt oss kolla på några exempel om hur man kan gå från räta linjens ekvation till en graf eller tvärtom.

Räkneexempel och förklaringar för räta linjens ekvation:

Exempel 1: Rita grafen till funktionen y = 3 x - 1

Förklaring: Ett sätt som vi kan lösa den här uppgiften är att vi kan räkna ut vad y är för en mängd olika värden av x. För x  = 0: 

y = 3 \cdot 0 - 1 = -1

För x=1:

y = 3 \cdot 1 - 1 = 2

och så vidare. Om vi fortsätter så kan vi fylla i följande tabell:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-10	-7	-4	-1	2	5	8

Varje kolumn i tabellen motsvarar alltså en punkt i vår graf. Vi kan nu rita in dessa punkter i ett koordinatsystem:

Om vi nu drar ett rakt streck genom alla punkter så får vi vår graf:

Det här är en allmän metod som funkar för vilken funktion som helst. Men, det finns ett smartare sätt att gå tillväga. Vi ser på ekvationen i uppgiften att den är på formen y = kx + m (där k = 3 och m = -1). Alltså är ekvationen på formen av räta linjens ekvation, och vi vet därför att grafen kommer vara en rät linje. Därför behöver vi bara rita in två punkter i koordinatsystemet.

Och sedan kan vi ta vår linjal och rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.

---

Exempel 2: Rita grafen till funktionen y = 2 x + 2

Förklaring: Den här ekvationen är på formen y = kx + m. Alltså representerar ekvationen en rät linje! Vi kan då lösa den här uppgiften genom att ta fram två punkter och sedan rita ett rakt streck som går igenom dessa två punkter.

Om vi säger att vår första punkt ska ha x-värdet 0 så får vi det motsvarande y-värdet

y = 2 \cdot 0 + 2 = 2

Så den första punkten blir (0,2). För den andra punkten kan vi ta x-värdet 1 och då blir y-värdet

y = 2 \cdot 1 + 2 = 4

Så den andra punkten är (2,4). Om vi ritar in dessa två punkter i koordinatsystemet så får vi

Det vi har kvar att göra nu är att dra en rät linje som går igenom de två punkterna. Då får vi

Vilket är svaret!

---

Hitta m och k

Om man har en linje i ett koordinatsystem och man vill hitta dess ekvation så måste man lista ut vad k och m är i räta linjens ekvation. m är det y-värde funktionen har när den skär y-axeln, dvs när x är noll. k kallas ofta för linjens lutning, och kan hittas genom att välja två punkter på linjen (x_1, y_1) och (x_2, y_2) och att använda formeln

k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

---

Exempel 3: Hitta ekvationen till linjen i grafen

Förklaring: Eftersom grafen i uppgiften är en rät linje så kommer ekvationen vara på formen av räta linjens ekvation

y = kx + m

Vi vill därför hitta k och m. m finner vi genom att titta på var linjen skär y-axeln

Vi ser från figuren att funktionen skär y-axeln vid y=-2. Därför kan vi se att m = -2. 

Nu vill vi hitta k värdet, och då börjar vi med att välja ut två punkter ur grafen. Om vi kollar på till exempel x = 1 så har grafen värdet y=0. Alltså är vår första punkt (x_1,y_1) = (1,0). Sedan kollar vi på till exempel x = 2 som har värdet y=2. Så vår andra punkt är (x_2,y_2) = (2,2). Vi kan nu stoppa in det i formeln för k och då får vi:

k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2

Alltså är k=2, så linjens ekvation är

y = 2 x - 2

Räta linjens ekvation i allmän form

Räta linjens ekvation kan även skrivas i allmän form och ser då ut såhär:

Ax + By + C = 0

Viktigt att tänka på är dock att A och B inte kan vara 0 samtidigt, det skulle resultera i en obestämd ekvation. Vill du omvandla ekvationen från dess allmänna form till y = k x + m kan du lösa ekvation för y:

Ax + By + C = 0

By = -Ax - C

y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}

Vilket medför att m = -\frac{C}{B} och k = -\frac{A}{B}!