Primtal

Alla tal är jämnt delbara med sig själva och 1. Det gäller eftersom vi kan skriva alla tal som en produkt (en multiplikation) av 1 och sig självt.

Om ett tal endast kan delas jämnt av 1 och sig självt kallar vi det för ett primtal. De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Ett primtal är alltid ett heltal större än 1. Tal som -3, \frac{1}{2} och 2,5 kan alltså inte vara primtal.

Räkneexempel och förklaringar

De flesta tal är delbara med fler tal än 1 och sig självt, till skillnad från primtal. Tal som inte är primtal kallas för sammansatta tal. Till exempel är 10 delbart med 1, 2, 5 och 10, vilket gör 10 till ett sammansatt tal. 

Vi ser att 10 är ett sammansatt tal eftersom 10 kan skrivas som 10={5}\cdot{2}={10}\cdot{1}. Vi säger att 1, 2, 5 och 10 är delare till 10.


En delare är ett tal som kan dela ett annat tal så att det går jämnt ut. En delare till ett tal måste vara ett positivt heltal. Tal som 3, 4 och 14 kan alltså vara delare. Tal som -3, \frac{1}{2} och 2,5 kan däremot inte vara delare. 

Det är även viktigt att vi får ett heltal när vi delar talet med dess delare. Vi menar alltså att talet ska vara jämnt delbart när vi påstår att det är delbart. Vi ser till exempel att 2 är en delare till 10 eftersom \frac{10}{2}=5

Exempel 1: Är 4 en delare till 10?

Svar: Nej.

Lösning: Talet 4 är dock inte en delare till 10 eftersom \frac{10}{4}=2,5. Vi får alltså inte ett heltal när vi delar 10 med 4.


Om vi vill undersöka vare sig ett tal är ett primtal eller inte testar vi om talet har några delare förutom 1 och talet självt. 

Att testa om varenda tal är en delare blir jobbigt. Dock kan vi använda oss av ett par olika uteslutningsmetoder för att göra det enkelt för oss själva. 

Jämna tal, bortsett från 2, är alltid sammansatta tal. Vi vet alltså att dessa inte är primtal. 

När vi vill ta reda på om ett tal är ett primtal eller inte räcker det med att testa alla udda tal upp till talet delat på 2. Vi testar inte 1. Om inga av talen vi undersökte är delare så vet vi att talet är ett primtal.

Exempel 2: Är 17 ett primtal? 

Svar: Ja.

Lösning: När vi vill undersöka ett tal, som till exempel 17, börjar vi alltså med att dela talet på 2. 

\frac{17}{2}=8,5

Vi behöver endast testa de udda talen mellan 1 och 8,5, alltså 3, 5 och 7. Vi testar och upptäcker att varken 3, 5 eller 7 är delare till 17. Därmed är 17 ett primtal.


Alla heltal kan primtalsfaktoriseras. Att primtalsfaktorisera ett tal innebär att vi skriver om talet till en multiplikation av primtal. Vi inkluderar inte 1 i faktoriseringen. För talet 18 ser primtalsfaktoriseringen ut så här: 

18= {2}\cdot{9}= {2}\cdot{3}\cdot{3}

När ingen av faktorerna (talen i multiplikationen) kan delas upp ytterligare vet vi att faktoriseringen är klar. Alla tal som vi då lämnas med är primtal.


Faktorisering är användbart i flera sammanhang i matematiken, bland annat när vi räknar ut en minsta gemensamma multipel (förkortas MGM). 

En multipel av ett tal är ett tal som finns i det andra talets multiplikationstabell. Till exempel är 6 en multipel av 2 eftersom 6 finns i tvåans tabell ({2}\cdot{3}=6).

En minsta gemensamma multipel är det minsta talet där två tals tabeller möts. Tvåans och treans tabell möts först vid 6 ({2}\cdot{3}=6 och {3}\cdot{2}=6), vilket betyder att 6 är den minsta gemensamma multipeln för 2 och 3.

När vi vill hitta den minsta gemensamma multipeln av två tal börjar vi med att primtalsfaktorisera talen. Vi skriver alltså om talen till en multiplikation av primtal. 

Sedan multiplicerar vi talens gemensamma faktorer med talens icke gemensamma faktorer. Talet vi får är vår minsta gemensamma multipel.

Exempel 3: Vilken är den minsta gemensamma multipeln för 18 och 30?

Svar: 90

Lösning: Vi börjar med att dela upp talen 18 och 30 i primtal.

18= {2}\cdot{9}= {2}\cdot{3}\cdot{3} 30= {2}\cdot{15}= {2}\cdot{3}\cdot{5}

Vi ser att talens gemensamma faktorer är 2 och 3. 18 har även en extra faktor 3, medan 30 har en faktor 5. Nu multiplicerar vi talens gemensamma faktorer (2 och 3) med talens icke gemensamma faktorer (3 och 5). 

{2}\cdot{3}\cdot{3}\cdot{5}=90

Vi får alltså att 90 är den minsta gemensamma multipeln för 18 och 30.


Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är primtalsfaktoriseringen för 24?

Svarsalternativ 1.1: {2}\cdot{2}\cdot{2}
Svarsalternativ 1.2: {2}\cdot{2}\cdot{3}
Svarsalternativ 1.3: {2}\cdot{3}\cdot{3}
Svarsalternativ 1.4: {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}

Korrekt svar: {2}\cdot{2}\cdot{2}\cdot{3}

Fråga 2: Vilket av följande tal är ett primtal?

Svarsalternativ 2.1: 21
Svarsalternativ 2.2: 22
Svarsalternativ 2.3: 23
Svarsalternativ 2.4: 24

Korrekt svar: 23

Fråga 3: Bestäm den minsta gemensamma multipeln för 21 och 35.

Svarsalternativ 3.1: 85
Svarsalternativ 3.2: 105
Svarsalternativ 3.3: 210
Svarsalternativ 3.4: 735

Korrekt svar: 105



Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Mattehjälp för alla åldrar

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!