PQ-formeln

PQ-formeln är en formel som vi kan använda för att lösa alla andragradsekvationer. Vissa andragradsekvationer har även andra sätt som de kan lösas på, men den här formeln går att använda på alla andragradsekvationer. Det som är viktigt att tänka på är att vi först måste se till att andragradsekvationen är skriven på PQ-form. Den ser ut så här:
$x^2 + px + q = 0$

I den här guiden går vi igenom steg för steg hur du löser andragradsekvationer med hjälp av PQ-formeln. Längre ner hittar du även uppgifter och exempel som kan hjälpa dig att öva på formeln tills den verkligen sitter!

PQ-formeln och ekvationer

PQ-formeln är ett användbart verktyg för att lösa kvadratiska ekvationer på formen ax^2 + bx + c = 0, där a, b och c är koefficienterna i ekvationen. Ibland kan kvadratiska ekvationer vara svåra att faktorisera eller lösa genom kvadratkomplettering, och det är då PQ-formeln kommer till användning.

Relaterat: Läs mer om andragradsekvationer!

Hur använder man PQ-formeln?

Det är alltså två saker som vi måste se till innan vi kan använda PQ-formeln. De första är att det inte finns något tal framför $x^2$ , och det andra är att ekvationen ska vara = 0. Om den inte är det måste vi först flytta om så att vi får detta. Sedan kan vi använda pq-formeln, som ser ut så här:

x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right ) ^2 - q }

En andragradsekvation har vanligtvis två lösningar. Det fina med PQ-formeln är att den ger oss båda lösningarna. Den ena lösningen är + det som finns under rottecknet och den andra är – det som står under rottecknet.

Att lösa ekvationer med pq-formeln har alltså fyra steg:

Flytta om så vi får 0 på ena sidan

Om det är ett tal framför $x^2$ så delar vi ekvationen på det talet så $x^2$ står ensamt.

Hitta p och q.

Använd pq-formeln!

Säkra försprånget i höst med läxhjälp från Allakando

Höj betygen och stärk motivationen!

Läs mer

Räkneexempel och förklaringar för pq-formeln

Exempel 1: Lös ekvationen

x^2 + 4x - 12 = 0

Svar: $x_1 = 2,\; x_2 = -6$

Förklaring: Vi vill lösa ekvationen med pq-formeln. Vi följer stegen ovan:

Vi ser till att vi har 0 på ena sidan ekvationen, vilket vi redan har!
Se till att det inte är något tal framför $x^2$ . Igen så är det redan fallet! Eftersom steg 1 och 2 redan var avklarade så stod ekvationen alltså redan på pq-form.
Nu ska vi hitta p och q. p är det tal som står framför x, i det här fallet är p = 4. q är det tal som står utan något x, det här fallet är q = -12. Lägg märke till att vi måste ta hänsyn till tecknet på p och q: eftersom vi tar minus 12 så blir q negativt. Vi kan nu stoppa in värdena i pq-formeln:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - (-12) }

x = - 2 \pm \sqrt{2^2 + 12 }

x = - 2 \pm \sqrt{16 }

PQ-formeln ger två lösningar, en med + framför rottecknet och en med – framför rottecknet. Med + får vi:

x = -2 + 4

x = 2

Med – får vi:

x = -2 - 4

x = -6

Exempel 2: Lös ekvationen

x^2 - 6x + 3 = 0

Svar: $x_1 = 3 + \sqrt{6}, \; x_2 = 3 - \sqrt{6}$

Förklaring: Vi följer de fyra stegen ovan:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi redan har.
Vi vill att $x^2$ står ensamt, vilket det gör.
Vi behöver lista ut vad p och q är. I det här fallet får vi att p = -6, eftersom x-termen har formen -6x. Vi får också att q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right ) ^2 - 3 }

x = - (-3) \pm \sqrt{ (-3) ^2 - 3 }

x = 3 \pm \sqrt{ 9 - 3 }

x = 3 \pm \sqrt{6}

Ibland ska man svara på exakt form. Slår vi $\sqrt {6}$ på miniräknaren så får vi ett tal med massor av decimaler. För att svara exakt så kan vi behålla $\sqrt {6}$ och svara med det – det är det mest exakta vi kan ange. För att svara i exakt form får vi därför följande två lösningar:

x_1 = 3 + \sqrt{6}

x_2 = 3 - \sqrt{6}

Exempel 3: Lös ekvationen

x^2 - 5x = 3x - 7

Svar: $x_1 = 1, \; x_2 = 7$

Förklaring: Vi använder de fyra stegen:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi just nu inte har! Vi måste alltså flytta om så att vi får 0 på ena sidan. Vi börjar med att ta -3x från båda sidor:
$x^2 - 5x - 3x = 3x - 7 - 3x$

Förenklar vi så får vi

x^2 - 8x = - 7

Vi har inte fått höger sida att bli 0 än, så nu lägger vi till 7 på båda sidor för att få bort 7:an

x^2 -8x +7 = -7+7

x^2 -8x + 7 = 0

Vi har nu fått 0 på ena sidan!

Vi vill att $x^2$ står ensam, vilket den redan gör. Vi har alltså skrivit ekvationen på pq-form.
Vi vill hitta p och q. Vi ser att p = -8 och q = 7. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-8}{2} \right ) ^2 - 7 }

x = - (-4) \pm \sqrt{ ( -4 ) ^2 - 7 }

x = 4 \pm \sqrt{ 16  - 7 }

x = 4 \pm \sqrt{9}

x = 4 \pm 3

Då får vi våra två lösningar:

x_1 = 4-3 = 1

x_2 = 4+3 = 7

Exempel 4: Lös ekvationen

3x^2 + 12x + 9 = 0

Svar: $x_1 = -1, \; x2 = -3$

Förklaring: Vi kollar igen på de fyra stegen:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi har.
Nu är det att vi har ett tal framför $x^2$ , så att det står $3x^2$ . För att bli med den här 3:an så kan vi dela båda sidor av ekvationen med 3:

\frac {3x^2 + 12x + 9}{3} = \frac{0}{3}

När vi delar allt med 3 så är det samma sak som att dela varje enskild term med 3. Vi får alltså:

\frac {3x^2}{3} + \frac {12x}{3} + \frac {9}{3} = \frac{0}{3}

Det här blir:

x^2 + 4x + 3 = 0

Ekvationen är nu i formen vi söker!

Vi vill hitta p och q. Vi kan identifiera att p = 4, och q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{2^2 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{4 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{1}

x = - 2 \pm 1

De två svaren blir:

x_1 = -2 + 1 = -1

x_2 = -2 - 1 = -3

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är p i ekvationen $x^2 - 3x - 8 = 0$

Svarsalternativ 1: 3
Svarsalternativ 2: -3 (rätt)
Svarsalternativ 3: 8
Svarsalternativ 4: -8

Fråga 2: Vad är q i ekvationen $x^2 + 8x + 3 = 12$

Svarsalternativ 1: 8
Svarsalternativ 2: 3
Svarsalternativ 3: 12
Svarsalternativ 4: -9 (rätt)

Fråga 3: Lös ekvationen $x^2 - 2x - 8 = 0$

Svarsalternativ 1: $x_1 = 1, x_2 = 2$
Svarsalternativ 2: $x_1 = 4, x_2 = 0$
Svarsalternativ 3: $x_1 = -1, x_2 =-4$
Svarsalternativ 4: $x_1 = 4, x_2 = -2$ (rätt)

Fredriks tips

Så gör du om det saknas reella lösningar

Allt eftersom att du övar på att använda PQ-formeln kommer beräkningarna att gå snabbare och kännas lättare. Det kan dock hända att du kommer över en uppgift där talet under “roten ur” tecknet blir negativt. I ett sådant fall finns det inga reella lösningar till ekvationen eftersom att du inte kan beräkna roten ur ett negativt tal. Detta blir överkurs när du börjar räkna med PQ-formeln, så skulle du stöta på en sådan uppgift räcker det oftast med att svara att andragradsekvationen saknar reella lösningar.

Andragradsekvationer kan kännas mycket kluriga till en början. Skulle du vilja ha lite extra stöd med PQ-formeln eller någon annan del av matematiken har vi erfarna studiecoacher som är riktigt vassa på matte och kan hjälpa dig att plugga!