PQ-formeln

PQ-formeln är en formel som vi kan använda för att lösa alla andragradsekvationer. Vissa andragradsekvationer har även andra sätt som de kan lösas på, men den här formeln går att använda på alla andragradsekvationer. Det som är viktigt att tänka på är att vi först måste se till att andragradsekvationen är skriven på PQ-form. Den ser ut så här:
$x^2 + px + q = 0$

Det är alltså två saker som vi måste se till innan vi kan använda PQ-formeln. De första är att det inte finns något tal framför $x^2$ , och det andra är att ekvationen ska vara = 0. Om den inte är det måste vi först flytta om så att vi får detta. Sedan kan vi använda pq-formeln, som ser ut så här:

x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right ) ^2 - q }

En andragradsekvation har vanligtvis två lösningar. Det fina med PQ-formeln är att den ger oss båda lösningarna. Den ena lösningen är + det som finns under rottecknet och den andra är – det som står under rottecknet.

Att lösa ekvationer med pq-formeln har alltså fyra steg:

Flytta om så vi får 0 på ena sidan

Om det är ett tal framför $x^2$ så delar vi ekvationen på det talet så $x^2$ står ensamt.

Hitta p och q.

Använda pq-formeln!

Test: Vilket betyg får ditt barn i matte?

Gör vårt snabba mattetest och få en prognos!

Starta testet

Räkneexempel och förklaringar för pq-formeln

Exempel 1: Lös ekvationen

x^2 + 4x - 12 = 0

Svar: $x_1 = 2,\; x_2 = -6$

Förklaring: Vi vill lösa ekvationen med pq-formeln. Vi följer stegen ovan:

Vi se till att vi har 0 på ena sidan ekvationen, vilket vi redan har!
Se till att det inte är något tal framför $x^2$ . Igen så är det redan fallet! Eftersom steg 1 och 2 redan var avklarade så stod ekvationen alltså redan på pq-form.
Nu ska vi hitta p och q. p är det tal som står framför x, i det här fallet är p = 4. q är det tal som står utan något x, det här fallet är q = -12. Lägg märke till att vi måste ta till hänsyn tecknet på p och q: eftersom vi tar minus 12 så blir q negativt. Vi kan nu stoppa in värdena i pq-formeln:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - (-12) }

x = - 2 \pm \sqrt{2^2 + 12 }

x = - 2 \pm \sqrt{16 }

PQ-formeln ger två lösningar, en med + framför rottecknet och en med – framför rottecknet. Med + får vi:

x = -2 + 4

x = 2

Med – får vi:

x = -2 - 4

x = -6

Exempel 2: Lös ekvationen

x^2 - 6x + 3 = 0

Svar: $x_1 = 3 + \sqrt{6}, \; x_2 = 3 - \sqrt{6}$

Förklaring: Vi följer de fyra stegen ovan:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi redan har.
Vi vill att $x^2$ står ensamt, vilket det gör.
Vi behöver lista ut vad p och q är. I det här fallet har vi att p = -6, eftersom x-termen har formen -6x. Vi har också att q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right ) ^2 - 3 }

x = - (-3) \pm \sqrt{ (-3) ^2 - 3 }

x = 3 \pm \sqrt{ 9 - 3 }

x = 3 \pm \sqrt{6}

Ibland ska man svara på exakt form. Slår vi $\sqrt {6}$ på miniräknaren så får vi ett tal med massor av decimaler. För att svara exakt så kan vi behålla $\sqrt {6}$ och svara med det – det är det mest exakta vi kan ange. För att svara i exakt form får vi därför följande två lösningar:

x_1 = 3 + \sqrt{6}

x_2 = 3 - \sqrt{6}

Exempel 3: Lös ekvationen

x^2 - 5x = 3x - 7

Svar: $x_1 = 1, \; x_2 = 7$

Förklaring: Vi använder de fyra stegen:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi just nu inte har! Vi måste alltså flytta om så att vi får 0 på ena sidan. Vi börjar med att ta -3x från båda sidor:
$x^2 - 5x - 3x = 3x - 7 - 3x$

Förenklar vi så får vi

x^2 - 8x = - 7

Vi har inte fått höger sida att bli 0 än, så nu lägger vi till 7 på båda sidor för att få bort 7:an

x^2 -8x +7 = -7+7

x^2 -8x + 7 = 0

Vi har nu fått 0 på ena sidan!

Vi vill att $x^2$ står ensam, vilket den redan gör. Vi har alltså skrivit ekvationen på pq-form.
Vi vill hitta p och q. Vi ser att p = -8 och q = 7. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-8}{2} \right ) ^2 - 7 }

x = - (-4) \pm \sqrt{ ( -4 ) ^2 - 7 }

x = 4 \pm \sqrt{ 16  - 7 }

x = 4 \pm \sqrt{9}

x = 4 \pm 3

Då får vi våra två lösningar:

x_1 = 4-3 = 1

x_2 = 4+3 = 7

Exempel 4: Lös ekvationen

3x^2 + 12x + 9 = 0

Svar: $x_1 = -1, \; x2 = -3$

Förklaring: Vi kollar igen på de fyra stegen:

Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi har.
Nu är det att vi har ett tal framför $x^2$ , så att det står $3x^2$ . För att bli med den här 3:an så kan vi dela båda sidor av ekvationen med 3:

\frac {3x^2 + 12x + 9}{3} = \frac{0}{3}

När vi delar allt med 3 så är det samma sak som att dela varje enskild term med 3. Vi får alltså:

\frac {3x^2}{3} + \frac {12x}{3} + \frac {9}{3} = \frac{0}{3}

Det här blir:

x^2 + 4x + 3 = 0

Ekvationen är nu i formen vi söker!

Vi vill hitta p och q. Vi kan identifiera att p = 4, och q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{2^2 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{4 - 3 }

x = - 2 \pm \sqrt{1}

x = - 2 \pm 1

De två svaren blir:

x_1 = -2 + 1 = -1

x_2 = -2 - 1 = -3

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är p i ekvationen $x^2 - 3x - 8 = 0$

Svarsalternativ 1: 3
Svarsalternativ 2: -3 (rätt)
Svarsalternativ 3: 8
Svarsalternativ 4: -8

Fråga 2: Vad är q i ekvationen $x^2 + 8x + 3 = 12$

Svarsalternativ 1: 8
Svarsalternativ 2: 3
Svarsalternativ 3: 12
Svarsalternativ 4: -9 (rätt)

Fråga 3: Lös ekvationen $x^2 - 2x - 8 = 0$

Svarsalternativ 1: $x_1 = 1, x_2 = 2$
Svarsalternativ 2: $x_1 = 4, x_2 = 0$
Svarsalternativ 3: $x_1 = -1, x_2 =-4$
Svarsalternativ 4: $x_1 = 4, x_2 = -2$ (rätt)