PQ-formeln

PQ-formeln och ekvationer

PQ-formeln är ett användbart verktyg för att lösa kvadratiska ekvationer på formen ax^2 + bx + c = 0, där a, b och c är koefficienterna i ekvationen. Ibland kan kvadratiska ekvationer vara svåra att faktorisera eller lösa genom kvadratkomplettering, och det är då PQ-formeln kommer till användning.

Relaterat: Läs mer om andragradsekvationer!

Hur använder man PQ-formeln?

Det är alltså två saker som vi måste se till innan vi kan använda PQ-formeln. De första är att det inte finns något tal framför x^2, och det andra är att ekvationen ska vara = 0. Om den inte är det måste vi först flytta om så att vi får detta. Sedan kan vi använda pq-formeln, som ser ut så här:

x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right ) ^2 - q }

En andragradsekvation har vanligtvis två lösningar. Det fina med PQ-formeln är att den ger oss båda lösningarna. Den ena lösningen är + det som finns under rottecknet och den andra är – det som står under rottecknet.

Att lösa ekvationer med pq-formeln har alltså fyra steg:

1. Flytta om så vi får 0 på ena sidan

2. Om det är ett tal framför x^2 så delar vi ekvationen på det talet så x^2 står ensamt.

3. Hitta p och q.

4. Använd pq-formeln!

Räkneexempel och förklaringar för pq-formeln

Exempel 1: Lös ekvationen

x^2 + 4x - 12 = 0

Svar: x_1 = 2,\; x_2 = -6

Förklaring: Vi vill lösa ekvationen med pq-formeln. Vi följer stegen ovan:

1. Vi ser till att vi har 0 på ena sidan ekvationen, vilket vi redan har! 
2. Se till att det inte är något tal framför x^2. Igen så är det redan fallet! Eftersom steg 1 och 2 redan var avklarade så stod ekvationen alltså redan på pq-form. 
3. Nu ska vi hitta p och q. p är det tal som står framför x, i det här fallet är p = 4. q är det tal som står utan något x, det här fallet är q = -12. Lägg märke till att vi måste ta hänsyn till tecknet på p och q: eftersom vi tar minus 12 så blir q negativt. Vi kan nu stoppa in värdena i pq-formeln:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - (-12) } x = - 2 \pm \sqrt{2^2 + 12 } x = - 2 \pm \sqrt{16 }

PQ-formeln ger två lösningar, en med + framför rottecknet och en med – framför rottecknet. Med + får vi:

x = -2 + 4 x = 2

Med – får vi:

x = -2 - 4 x = -6

---

Exempel 2: Lös ekvationen

x^2 - 6x + 3 = 0

Svar: x_1 = 3 + \sqrt{6}, \; x_2 = 3 - \sqrt{6}

Förklaring: Vi följer de fyra stegen ovan:

1. Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi redan har.
2. Vi vill att x^2 står ensamt, vilket det gör.
3. Vi behöver lista ut vad p och q är. I det här fallet får vi att p = -6, eftersom x-termen har formen -6x. Vi får också att q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right ) ^2 - 3 } x = - (-3) \pm \sqrt{ (-3) ^2 - 3 } x = 3 \pm \sqrt{ 9 - 3 } x = 3 \pm \sqrt{6}

Ibland ska man svara på exakt form. Slår vi \sqrt {6} på miniräknaren så får vi ett tal med massor av decimaler. För att svara exakt så kan vi behålla \sqrt {6}och svara med det – det är det mest exakta vi kan ange. För att svara i exakt form får vi därför följande två lösningar: 

x_1 = 3 + \sqrt{6} x_2 = 3 - \sqrt{6}

---

Exempel 3: Lös ekvationen

x^2 - 5x = 3x - 7

Svar: x_1 = 1, \; x_2 = 7

Förklaring: Vi använder de fyra stegen:

1. Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi just nu inte har! Vi måste alltså flytta om så att vi får 0 på ena sidan. Vi börjar med att ta -3x från båda sidor:
2. x^2 - 5x - 3x = 3x - 7 - 3x

Förenklar vi så får vi

x^2 - 8x = - 7

Vi har inte fått höger sida att bli 0 än, så nu lägger vi till 7 på båda sidor för att få bort 7:an

x^2 -8x +7 = -7+7 x^2 -8x + 7 = 0

Vi har nu fått 0 på ena sidan!

2. Vi vill att x^2 står ensam, vilket den redan gör. Vi har alltså skrivit ekvationen på pq-form.
3. Vi vill hitta p och q. Vi ser att p = -8 och q = 7. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{-8}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-8}{2} \right ) ^2 - 7 } x = - (-4) \pm \sqrt{ ( -4 ) ^2 - 7 } x = 4 \pm \sqrt{ 16  - 7 } x = 4 \pm \sqrt{9} x = 4 \pm 3

Då får vi våra två lösningar:

x_1 = 4-3 = 1 x_2 = 4+3 = 7

---

Exempel 4: Lös ekvationen

3x^2 + 12x + 9 = 0

Svar: x_1 = -1, \; x2 = -3

Förklaring: Vi kollar igen på de fyra stegen:

1. Vi vill ha 0 på ena sidan, vilket vi har.
2. Nu är det att vi har ett tal framför x^2, så att det står 3x^2. För att bli med den här 3:an så kan vi dela båda sidor av ekvationen med 3:

\frac {3x^2 + 12x + 9}{3} = \frac{0}{3}

När vi delar allt med 3 så är det samma sak som att dela varje enskild term med 3. Vi får alltså:

\frac {3x^2}{3} + \frac {12x}{3} + \frac {9}{3} = \frac{0}{3}

Det här blir:

x^2 + 4x + 3 = 0

Ekvationen är nu i formen vi söker! 

3. Vi vill hitta p och q. Vi kan identifiera att p = 4, och q = 3. Stoppar vi in det i pq-formeln får vi:

x = - \frac{4}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{4}{2} \right ) ^2 - 3 } x = - 2 \pm \sqrt{2^2 - 3 } x = - 2 \pm \sqrt{4 - 3 } x = - 2 \pm \sqrt{1} x = - 2 \pm 1

De två svaren blir:

x_1 = -2 + 1 = -1 x_2 = -2 - 1 = -3