Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation där x har multiplicerats med sig själv. Det kan vara allt från $x^2 = 7$ till $(x+5)*x = 3$ .

Andragradsekvationer är väldigt vanliga och används i allt från t.ex. statistik och ekonomi till fysik och kemi. En spännande grej med andragradsekvationer är att de ofta har två lösningar!

Det grundläggande verktyget för andragradsekvationer är kvadratroten, som fungerar som motsatsen till att kvadrera. I den här artikeln hanterar vi några speciella typer av andragradsekvationer, men vi har också en sida om PQ-formeln där vi har en mer generell metod.

Räkneexempel och förklaringar för andragradsekvationer

Exempel: Lös ekvationen $x^2 = 9$

Svar: $x_1 = 3 , \; x_2 = -3$

Förklaring: Vi söker ett tal som gånger sig själv blir 9. Det finns en väldigt användbar funktion som reder ut detta, som kallas kvadratroten! Kvadratroten av $x$ skrivs som $\sqrt{x}$ , och har den värdefulla egenskapen att $\sqrt{x^2} = x$ , alltså att om man har $x^2$ så kan man ta kvadratroten för att få fram x. Om vi tar kvadratroten ur båda sidorna får vi alltså:

\sqrt{x^2} = \sqrt{9}

x = \sqrt{9}

Vi kan få fram vad $\sqrt{9}$ är genom att knappa in det i miniräknaren, och då får vi att $\sqrt{9} = 3$ . Detta stämmer överens med multiplikationstabellen, som säger att $3 \cdot 3 = 9$ , vilket är det ekvationen frågar efter! 3 är alltså en lösning. Eftersom minus gånger minus blir plus, är även $(-3) \cdot (-3) = 9$ . Alltså är även -3 en lösning.

Test: Vilket betyg får ditt barn i matte?

Gör vårt snabba mattetest och få en prognos!

Starta testet

Exempel: Lös ekvationen $x^2 = 324$

Svar: $x_1 = 18 ,\; x_2 = -18$

Förklaring: För att göra om $x^2$ till $x$ så vill vi ta kvadratroten. Man måste alltid göra samma sak på båda sidor av ekvationen, så vi tar kvadratroten ur båda sidorna:

\sqrt{x^2} = \sqrt{324}

Vi kan nu förenkla vänsterledet.

x = \sqrt{324}

Knappar vi in högerledet i miniräknaren får vi

x = 18

vilket är vår första lösning. Precis som i förra exemplet får vi en till negativ lösning när vi tar kvadratroten:

\sqrt{x^2} = - \sqrt{324}

x = -\sqrt{324}

x = -18

vilket är vår andra lösning.

Exempel: Lös ekvationen $x^2 - 16 = 105$

Svar: $x_1 = 11,\; x_2 = -11$

Förklaring: Här måste vi först isolera $x^2$ innan vi kan ta kvadratroten. Vi gör det genom att lägga till 16 på båda sidor:

x^2 - 16 + 16 = 105 + 16

x^2 = 121

Vi kan nu ta kvadratroten ur båda sidor. Som vanligt kommer vi få två lösningar – en positiv, och en negativ. Om man vill behandla båda lösningarna på samma gång kan man använda plus-minus-tecknet $\pm$ . Det tecknet står för att den kan vara både plus och minus. Då får vi alltså

\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{121}

Vi förenklar vänsterledet

x = \pm \sqrt{121}

Vi förenklar högerledet

x = \pm 11

Plus-minus-tecknet kan vara antingen plus eller minus. Vi får då att de två lösningarna är:

x_1 = 11

x_2 = -11

Exempel: $x^2 + 10 = 42$

Svar: $x_1 = \sqrt {32}, \; x_2 = - \sqrt{32}$

Förklaring: Igen måste vi isolera $x^2$ , vilket vi gör genom att subtrahera 10 från båda sidor:

x^2 + 10 - 10 = 42 - 10

x^2 = 32

Vi kan nu ta kvadratroten ur båda sidor, där vi kommer ihåg att vi får både en positiv och en negativ lösning.

\sqrt{x^2} = \pm \sqrt{32}

Förenkla vänsterledet

x = \pm \sqrt{32}

Knappar man in $\sqrt{32}$ i miniräknaren så får man att det inte blir ett heltal. Vanligt inom matematik är att man då behåller det på formen $\sqrt{32}$ så att man inte behöver avrunda. $\sqrt{32}$ kallas för ”exakt form” av talet. Alltså blir våra lösningar