Potenslagar

Räkneexempel och förklaringar för potenslagar

Exempel: Förenkla uttrycket x^4 \cdot x^6

Svar: x^{10}

Förklaring: Uttrycket består av två stycken delar på formen x^a, som är multiplicerade. Då kan man använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

a och b är alltså exponenterna för vardera del av uttrycket, så i det här fallet har vi a=4 och b=6. Stoppar vi in det i potenslagen får vi x^6 \cdot x^4 = x^{6+4}

Vi kan nu utföra additionen som finns i exponenten:

Så svaret är x^{10}.

Exempel: Förenkla uttrycket (2^z)^7

Svar: 2^{7z}

Förklaring: Här har vi ett uttryck på formen (x^a)^b

Vi identifierar nu att inuti parentesen har vi basen x=2 och exponenten a=z, medan utanför parentesen så har vi exponenten b=7. Vi kan nu använda potenslagen (x^a)^b = x^{a \cdot b} vilket ger oss att (2^z)^7 = 2^{z \cdot 7}.

Alltså är svaret 2^{7z}.

Test: Vilket betyg får ditt barn i matte?

Gör vårt snabba mattetest och få en prognos!

Starta testet

Exempel: Förenkla uttrycket (2^z)^7

Svar: 2^a

Förklaring: Vi har två tal delade med varandra, där båda talen har samma exponent. Då kan vi använda potensregeln \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right )^a.

I det här fallet så har vi att täljarens bas är x=8, medan nämnarens bas är y=4. Vi stoppar in det i potensregeln och får \frac{8^a}{4^a} = \left( \frac{8}{4} \right )^a.

Vi utför divisionen \frac{8}{4} = 2 så svaret blir \left( \frac{8}{4} \right )^a = 2^a.

Exempel: Förenkla uttrycket \frac{4^8 \cdot 3^8}{12^3}

Svar: 12^5

Förklaring: Denna uppgift är lite större än tidigare uppgifter, och kommer behöva lösas i flera steg. Det första man kanske lägger märke till är att vi i täljaren har en produkt av två tal med samma exponent! Det vill säga, täljaren, som är 4^8  \cdot 3^8 är på formen x^a \cdot y^a där vi har att a a=8, x=4 och y=3 

Då kan vi använda potenslagen x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a och får därför att 4^8  \cdot 3^8 = (4 \cdot 3)^8 = 12^8

Det här kan vi stoppa tillbaka i uttrycket i uppgiften och då får vi:

Nu har vi ett uttryck där vi delar ett tal på ett annat, där båda talen har samma bas. Alltså kan vi använda potenslagen \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

Enligt potenslagen så är alltså a exponenten för talet i täljaren, medan b är exponenten för talet i nämnaren. i vårt fall har vi alltså a=8 och b=3. Vi har även att basen x=12. Stoppar vi in dessa värden i potenslagen så får vi:

Så svaret är 12^5!

Exempel: Förenkla x^5 \cdot x^{-5}

Svar: 1

Förklaring: Det finns två sätt som vi kan hantera den här uppgiften. Ett sätt är att använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

Om vi identifierar att a=5 och b=-5 så får vi att x^5 \cdot x^-5 = x^{5 + (-5)} = x^0 eftersom 5 + (-5) = 0. Allt vi behöver göra nu är att notera att det finns en potenslag som säger att x^0 = 1 vilket alltså är svaret.

Det andra sättet att lösa den här uppgiften går ut på att vi märker att uttrycket x^5 \cdot x^{-5} består dels av x^{-5}, som gör att vi kan använda vi kan använda potenslagen x^{-a} = \frac{1}{x^a}

I det här fallet har vi a=5, så vi får att x^{-5} = \frac{1}{x^5}

Stoppar vi tillbaka detta i uppgiftens uttryck så får vi x^5 \cdot x^{-5} = x^5 \cdot \frac{1}{x^5}

Om vi kommer ihåg hur man multiplicerar med bråk så ser vi att detta kan förenklas till x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{x^5 \cdot 1}{x^5} = \frac{x^5}{x^5}

Men nu har vi x^5 delat med sig själv! Ett tal delat med sig själv är alltid 1, så vi får \frac{x^5}{x^5} = 1 vilket är svaret på frågan!