Potenslagar

Eftersom uttryck som innehåller potenser kan bli rätt krångliga så har man listat ut ett antal lagar som gör att man kan förenkla dessa uttryck. De flesta av dessa lagar används när man kombinerar två potenser med gånger eller delat. Då behöver man också att antingen basen för de två potenserna är samma eller att exponenten för de två potenserna är samma.

Potenslagar för när basen är samma är:

  • x^a \cdot x^b = x^{a+b}

  • \frac{x^a} {x^b} = x^{a-b}

  • (x^a)^b = x^{a \cdot b}


  • Potenslagar för när exponenten är samma är:
  • x^a \cdot y^a = ( x \cdot y )^a

  • \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right )^a


  • Övriga potenslagar:
  • x^{-a} = \frac{1}{x^a}

  • x^0 = 1
  • Räkneexempel och förklaringar för potenslagar

    Exempel: Förenkla uttrycket x^4 \cdot x^6

    Svar: x^{10}

    Förklaring: Uttrycket består av två stycken delar på formen x^a, som är multiplicerade. Då kan man använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

    a och b är alltså exponenterna för vardera del av uttrycket, så i det här fallet har vi a=4 och b=6. Stoppar vi in det i potenslagen får vi x^6 \cdot x^4 = x^{6+4}

    Vi kan nu utföra additionen som finns i exponenten:

    x^{6+4} = x^{10}

    Så svaret är x^{10}.


    Exempel: Förenkla uttrycket (2^z)^7

    Svar: 2^{7z}

    Förklaring: Här har vi ett uttryck på formen (x^a)^b

    Vi identifierar nu att inuti parentesen har vi basen x=2 och exponenten a=z, medan utanför parentesen så har vi exponenten b=7. Vi kan nu använda potenslagen (x^a)^b = x^{a \cdot b} vilket ger oss att (2^z)^7 = 2^{z \cdot 7}.

    Alltså är svaret 2^{7z}.


    Exempel: Förenkla uttrycket (2^z)^7

    Svar: 2^a

    Förklaring: Vi har två tal delade med varandra, där båda talen har samma exponent. Då kan vi använda potensregeln \frac{x^a}{y^a} = \left( \frac{x}{y} \right )^a.

    I det här fallet så har vi att täljarens bas är x=8, medan nämnarens bas är y=4. Vi stoppar in det i potensregeln och får \frac{8^a}{4^a} = \left( \frac{8}{4} \right )^a.

    Vi utför divisionen \frac{8}{4} = 2 så svaret blir \left( \frac{8}{4} \right )^a = 2^a.


    Exempel: Förenkla uttrycket \frac{4^8 \cdot 3^8}{12^3}

    Svar: 12^5

    Förklaring: Denna uppgift är lite större än tidigare uppgifter, och kommer behöva lösas i flera steg. Det första man kanske lägger märke till är att vi i täljaren har en produkt av två tal med samma exponent! Det vill säga, täljaren, som är 4^8  \cdot 3^8 är på formen x^a \cdot y^a där vi har att a a=8, x=4 och y=3 

    Då kan vi använda potenslagen x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a och får därför att 4^8  \cdot 3^8 = (4 \cdot 3)^8 = 12^8

    Det här kan vi stoppa tillbaka i uttrycket i uppgiften och då får vi:

    \frac{4^8 \cdot 3^8}{12^3} = \frac{12^8}{12^3}

    Nu har vi ett uttryck där vi delar ett tal på ett annat, där båda talen har samma bas. Alltså kan vi använda potenslagen \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}

    Enligt potenslagen så är alltså a exponenten för talet i täljaren, medan b är exponenten för talet i nämnaren. i vårt fall har vi alltså a=8 och b=3. Vi har även att basen x=12. Stoppar vi in dessa värden i potenslagen så får vi:

    \frac{12^8}{12^3} = 12^{8-3} = 12^5

    Så svaret är 12^5!


    Exempel: Förenkla x^5 \cdot x^{-5}

    Svar: 1

    Förklaring: Det finns två sätt som vi kan hantera den här uppgiften. Ett sätt är att använda potenslagen x^a \cdot x^b = x^{a+b}

    Om vi identifierar att a=5 och b=-5 så får vi att x^5 \cdot x^-5 = x^{5 + (-5)} = x^0 eftersom 5 + (-5) = 0. Allt vi behöver göra nu är att notera att det finns en potenslag som säger att x^0 = 1 vilket alltså är svaret.

    Det andra sättet att lösa den här uppgiften går ut på att vi märker att uttrycket x^5 \cdot x^{-5} består dels av x^{-5}, som gör att vi kan använda vi kan använda potenslagen x^{-a} = \frac{1}{x^a}

    I det här fallet har vi a=5, så vi får att x^{-5} = \frac{1}{x^5}

    Stoppar vi tillbaka detta i uppgiftens uttryck så får vi x^5 \cdot x^{-5} = x^5 \cdot \frac{1}{x^5}

    Om vi kommer ihåg hur man multiplicerar med bråk så ser vi att detta kan förenklas till x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = \frac{x^5 \cdot 1}{x^5} = \frac{x^5}{x^5}

    Men nu har vi x^5 delat med sig själv! Ett tal delat med sig själv är alltid 1, så vi får \frac{x^5}{x^5} = 1 vilket är svaret på frågan!

    Övningsuppgifter

    Frågor med svarsalternativ:

    Fråga 1: Förenkla uttrycket \frac{x^{12}}{x^4}

    Svarsalternativ 1.1: x^3
    Svarsalternativ 1.2: x^4
    Svarsalternativ 1.3: x^6
    Svarsalternativ 1.4: x^8 (rätt)

    Fråga 2: Förenkla (x^4)^3

    Svarsalternativ 2.1: x^7
    Svarsalternativ 2.2: x^1
    Svarsalternativ 2.3: x^{12} (rätt)
    Svarsalternativ 2.4: x^9

    Fråga 3: Förenkla (3 \cdot x)^2

    Svarsalternativ 3.1: 6 x
    Svarsalternativ 3.2: 6 x^2
    Svarsalternativ 3.3: 9 x
    Svarsalternativ 3.4: 9 x^2 (rätt)



    Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

    Plugga högskoleprov

    Mattehjälp för alla åldrar

    Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

    Plugga till högskoleprovet

    Effektiva kurser som höjer betygen

    Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

    Plugga högskoleprovet

    Allt du behöver inför högskoleprovet

    Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!