Normalfördelning

Vad är normalfördelning?

En normalfördelning har egenskapen att de flesta av mätvärdena ligger kring medelvärdet, och ju längre ifrån medelvärdet man tittar desto färre mätvärden ser man. En annan viktig egenskap är att en normalfördelning är symmetrisk kring medelvärdet, det vill säga att det är lika många mätvärden över medelvärdet som under.

En viktig egenskap hos normalfördelningen är att den kan approximeras av en klockformad kurva, även kallad Gaussisk kurva eller klockkurva. Den är helt definierad av medelvärdet och standardavvikelsen och kurvan sträcker sig i båda riktningarna från medelvärdet.

Hur räknar man normalfördelning?

För att räkna på normalfördelningar bör man känna till standardavvikelsen. Standardavvikelsen är ett mått på hur mycket mätvärdena avviker i snitt från medelvärdet – om standardavvikelsen är hög så är mätvärdena väldigt spridda (men fortfarande koncentrerade kring medelvärdet).

I bilden visas hur stor andel som täcks av varje omfång av standardavvikelse, där \mu betyder medelvärde och \sigma betyder standardavvikelse. Särskilt värt att notera är att 

• 68% (34% + 34%) är mellan \mu - \sigma och  \mu + \sigma , med andra ord så är 68% inom en standardavvikelse från medelvärdet. 
• 95% (13,5% + 34% + 34% + 13,5%) är mellan \mu - 2 \sigma och \mu + 2 \sigma, med andra ord så är 95% inom två standardavvikelser från medelvärdet.

Exempel 1: På ett företag har man mätt att personalen har i genomsnitt längden 170 cm. Personalens längder är normalfördelad.

a) Om 95% av personalen är mellan 160 och 180 cm, vad är standardavvikelsen?

Svar: 5 cm

Förklaring: 160 cm och 180 cm är båda 10 cm från medelvärdet. Alltså är 95% av personalen inom 10 cm av medelvärdet. Eftersom att 95% är inom två standardavvikelser från medelvärdet när man har en normalfördelning, så är alltså 10 cm två standardavvikelser. Om två standardavvikelser är 10 cm så är en standardavvikelse 5 cm.

b) Hur stor andel av personalen är längre än 175 cm?

Svar: 16%

Förklaring: Låt oss först fastställa att 50% av personalen är längre än 170 cm, eftersom normalfördelningen är symmetrisk runt medelvärdet. Nu kan vi kolla på hur många standardavvikelser från medelvärdet 175 cm är. Eftersom standardavvikelsen är 5 cm så är 175 cm en standardavvikelse från medelvärdet. Uppgiften frågar alltså hur stor andel av personalen som är längre än en standardavvikelse från medelvärdet.

För att räkna ut det kan vi nu kolla på bilden som visar de olika andelarna för olika standardavvikelser. Därifrån ser vi nämligen att mellan \mu och \mu + \sigma är 34% av värdena. I det här fallet betyder det att 34% av personalen är mellan 170 cm och 175 cm långa. Så nu har vi att 50% är över 170 cm och att 34% är mellan 170 och 175 cm, vilket betyder att de över 175 cm är 50% - 34% = 16%!

Exempel 2: I en myrstack så kan vikten hos myrorna beskrivas med en normalfördelning.

De myror som är en standardavvikelse tyngre än medelvikten väger 8 gram, medan de som är två standardavvikelser tyngre än medelvikten väger 10 gram.

a) Vad är medelvikten för myrorna i myrstacken?

Svar: 6 gram

Förklaring: För att gå från en standardavvikelse över medelvärdet till två standardavvikelser över medelvärdet så ökar vi med exakt en standardavvikelse. I det här fallet går vi från 8 gram till 10 gram, vilket är en ökning på 2 gram. Alltså är en standardavvikelse 2 gram. Det betyder att 8 gram är 2 gram mer än medelvikten, vilket betyder att medelvikten är 6 gram.

Med \mu och \sigma kan ovanstående resonemang även skrivas:

\mu + \sigma = 8g och \mu + 2 \sigma = 10g

vilket betyder att (\mu + 2 \sigma) - (\mu + \sigma) = 10g - 8g

Vänstersidan kan förenklas enligt (\mu + 2 \sigma) - (\mu + \sigma) = \mu + 2 \sigma - \mu - \sigma = \sigma

Då vi får \sigma = 10g - 8g = 2g.

Vi kan nu stoppa in det i \mu + \sigma = 8g:

\mu + 2g = 8g och om vi tar minus 2g på båda sidor så får vi \mu = 6g .

b) Hur stor andel av myrorna har en vikt mellan 4 gram och 8 gram?

Svar: 68%

Förklaring: 4 gram är 2 gram under medelvärdet, och 8 gram är 2 gram över medelvärdet. Eftersom 2 gram är en standardavvikelse, så är frågan alltså om hur stor andel av myrorna som är inom en standardavvikelse av medelvikten. Enligt ovan så är det 68%!