Induktionsbevis

Ett induktionsbevis är ett bevis som t.ex kan användas för att visa att ett påstående gäller hos alla tal i en talföljd. Tanken bakom ett induktionsbevis är att visa att om ett påstående gäller för ett tal i talserien, så gäller det även för nästa tal i talserien. Om man också bevisar att det gäller för första talet, så är beviset färdigt.

Induktionsbevis har alltså tre steg:
1. Visa att påståendet gäller för a_1
2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien a_n
3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien a_{n+1}

Räkneexempel och förklaringar för induktionsbevis:

Induktion är väldigt likt rekursion, som också handlar om att hänvisa till tidigare tal i tal serien.

Exempel: För talföljden

a_{n+1} = a_n + 2 , a_1 = 3

Visa att alla tal i talföljden uppfyller a_n > 0

Förklaring: Påståendet a_n > 0 är ju ganska uppenbart, eftersom talföljden börjar vid ett positivt tal a_1 = 3 , och för att komma vidare genom talföljden så adderar vi två om och om igen. Då kommer vi helt enkelt längre och längre ifrån de negativa talen! Men hur hur skriver man det här resonemanget som ett matematiskt bevis?

Grundidén med vårt resonemang är att om startat med ett positivt tal, och lägger till två, så  blir resultatet  ett positivt tal. Så om a_n > 0, så får vi även att  a_{n+1} > 0 , eftersom a_{n+1} = a_n + 2 . Det här är grunden till ett induktionsbevis. Låt oss gå igenom de tre stegen!

1. Visa att påståendet gäller för a_1

Vi har ju att a_1 = 3 , vilket definitivt uppfyller a_1 > 0.

2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien a_n

Vi gör alltså hypotesen att a_n > 0 för något n

3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien a_{n+1}

Under antagandet a_n > 0 så har vi a_{n+1} = a_n + 2 > 0 , så påståendet gäller för a_{n+1} .

Och där var beviset klart! Det kanske inte känns helt intuitivt att det där var hela beviset, men induktionsbeviset är faktiskt samma resonemang som resonemanget vi började med (fast lite mer rigoröst). Steg 2 i beviset säger “om vi redan är på ett positivt tal”, och steg tre säger “och lägger till 2, så får vi ett positivt tal”.


Exempel: För talföljden

a_{n+1} = a_n + 3 , a_1 = 1

Visa att alla tal i talföljden uppfyller a_n = 3n - 2

Förklaring: Vi använder de tre stegen. 

1. Visa att påståendet gäller för a_1

Vi har påståendet a_n = 3n - 2 och vill visa att det gäller för a_1 . Vi stoppar alltså in n=1 i påståendet och får 

a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1, vilket är det korrekta a_1 enligt uppgiften.

Påståendet gäller för a_1 .

2. Antag att påståendet gäller för något tal i talserien a_n

Vi gör alltså hypotesen att talföljden uppfyller a_n = 3n - 2

3. Visa att påståendet då måste gälla för nästa tal i talserien a_{n+1}

Stoppar vi in n+1 istället för n i påståendet a_n = 3n - 2 så får vi

a_{n+1} = 3(n+1) - 2.

Vi vill alltså visa att a_{n+1} = 3(n+1) - 2 med hjälp av antagandet i steg 2. Går vi tillbaka till definitionen för vår talföljd  a_{n+1} = a_n + 3 och stoppar in antagandet vi gjorde i steg 2 a_n = 3n - 2 så får vi

a_{n+1} = 3n - 2 + 3 = (3n + 3) - 2 = 3(n+1) - 2

vilket var det vi ville visa! Då är beviset klart.

Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Läxhjälp i alla ämnen

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!