Rekursion
Rekursion är ett sätt att definiera en talföljd. Med rekursion så skriver man upp formeln för ett tal i talföljden a_n, uttryckt i termer av tidigare tal i talföljden a_{n-1}. Rekursion kan därför definiera talföljder som skulle vara väldigt knepiga att definiera med vanliga formler. Eftersom vi definierar talen i talföljden utifrån tidigare tal, så behöver vi uttryckligen ange första talet a_1 eftersom det då inte finns tidigare tal.
Rekursion är väldigt likt konceptet av induktion, som används för att bevisa egenskaper hos taföljder. Rekursion används även väldigt flitigt inom programmering.
Räkneexempel och förklaringar för rekursion:
Exempel: Ange a_4 i talföljden a_n = a_{n-1} + 2 , a_1 = 3
Svar: 9
Förklaring: Regeln a_n = a_{n-1} + 2 visar hur vi beräknar ett tal i talföljden utifrån det föregående talet. Vill vi räkna ut a_2 så kan vi stoppa in n=2 i regeln, och då får vi:
a_2 = a_{2-1} + 2 = a_1 + 2.
Men a_1 vet vi vad det är, den är given i uppgiften! Om vi stoppar in a_1 = 3 så får vi
a_2 = a_1 + 2 = 3 + 2 = 5.
nu kan vi stoppa in n=3 i regeln, och då får vi
a_3 = a_{3-1} + 2 = a_2 + 2.
men vi räknade ju precis ut a_2! Om vi stoppar in a_2 = 5 så får vi
a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7.
Om vi gör detta ytterligare en gång kommer vi till a_4. Vi stoppar in n=4 i regeln:
a_4 = a_{4-1} + 2 = a_3 + 2 = 7 + 2 = 9.
Alltså är svaret 9!
Notera att vi behövde ha a_1 = 3 som del av definitionen för talserien – rekursion fungerar bara om man har ett sådant basfall.
Exempel: Ange a_3 i talföljden a_n = a_{n-1} \cdot n , a_1 = 1
Svar: 6
Förklaring: Regeln a_n = a_{n-1} \cdot n ger hur man får ett tal i talföljden utifrån det förra talet. Vi börjar med att stoppa in n=2 i regeln:
a_2 = a_{2-1} \cdot 2 = a_1 \cdot 2Vi vet att a_1 = 1 , så
a_2 = a_1 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 .
Nu kan vi stoppa in n=3 i regeln:
a_3 = a_{3-1} \cdot 3 = a_2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6så svaret är 6!
Exempel: Ange a_{100} i talföljden a_n = a_{n-1} + 3 , a_1 = 4
Svar: 301
Förklaring: Den här är lite klurigare, man vill ju inte göra samma beräkning 100 gånger! Istället låt oss fundera på vad som händer varje gång vi applicerar regeln. a_n = a_{n-1} + 3 innebär ju att man adderar 3 varje gång man räknar ut nästkommande tal. Så om vi har applicerat regeln fem gånger så har vi adderat 3 fem gånger. Med andra ord har vi lagt till 3 \cdot 5 =15.
På samma sätt, för att komma till a_{100} så måste vi applicera regel 99 gånger. Det betyder att vi lägger till tre 99 gånger, dvs vi lägger till 3 \cdot 99 = 297. Vi började på a_1 = 4 så vi får att
a_{100} = 4 + 3 \cdot 99 = 4 + 297 = 301.
Övningsuppgifter
Frågor med svarsalternativ:
Rätt svar markeras i grönt.
Fråga 1: Ange a_4 i talföljden a_n = a_{n-1} \cdot 2 , a_1 = 3
Svarsalternativ 1.1: 16
Svarsalternativ 1.2: 24
Svarsalternativ 1.3: 32
Svarsalternativ 1.4: 48
Fråga 2: Ange a_3 i talföljden a_n = a_{n-1} + n^2 , a_1 = 4
Svarsalternativ 2.1: 8
Svarsalternativ 2.2: 17
Svarsalternativ 2.3: 24
Svarsalternativ 2.4: 33
Fråga 3: Ange a_{50} i talföljden a_n = a_{n-1} + 2 , a_1 = 7
Svarsalternativ 3.1: 55
Svarsalternativ 3.2: 82
Svarsalternativ 3.3: 105
Svarsalternativ 3.4: 119
Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan
Läxhjälp i alla ämnen
Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.
Effektiva kurser som höjer betygen
Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!
Allt du behöver inför högskoleprovet
Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!
