Exponentialfunktion

Exponentialfunktioner är en mycket spännande typ av funktioner som man stöter på många gånger inom matematik. Deras algebraiska egenskaper gör att de används i många olika sammanhang, så som ekonomi, biologi och kärnfysik.

Den allmänna formen för en exponentialfunktion är f(x) = C \cdot a^x där C är det så kallade startvärdet, och a är förändringsfaktorn. Man känner alltså igen en exponentialfunktion med att x är i exponenten i funktionens definition.

Räkneexempel och förklaringar för exponentialfunktioner

Exempel: Du sätter in 1 000 kr i banken med en ränta på 3% per år.

a) Ställ upp ett uttryck för mängden pengar du har i banken som funktion av antal år.

Svar:

Förklaring: En ökning med 3% innebär att vi har en förändringsfaktor på 1,03. Efter ett år kommer alltså pengarna i banken vara 1000 \cdot 1,03 = 1030.

Om vi låter ett till år gå så ska vi applicera förändringsfaktorn igen. Mängden pengar efter totalt två år kommer alltså vara (1000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 = 1060,9.

Men nu kan man börja se ett mönster! För varje år som så multiplicerar vi mängden pengar med 1,3, så efter till exempel fem år så kommer mängden pengar vi har i banken vara 1000 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 \cdot 1,03 = 1000 \cdot 1,03^5.

Om man då vill ställa upp pengar som funktion av år, så ser vi att vi har f(x) = 1000 \cdot 1,03^x.

Det här är ett typexempel på en exponentialfunktion!

b) Hur mycket pengar har du efter 20 år?

Svar: 1806 kr

Förklaring: Vi har en funktion som beskriver hur mycket pengar vi har efter x antal år. Vi vill veta hur mycket pengar vi har efter 20 år, så vi stoppar in x = 20 och får:

f(20) = 1000 \cdot 1,03^{20}.

Om vi stoppar in det uttrycket i räknaren så får vi f(20) \approx 1806 så efter 20 år så har vi 1806 kr.


Exempel: I ett experiment har man ett antal bakterier som man låter föröka sig. Antalet bakterier dubbleras varje dag, och efter 7 dagar så har man totalt 3200 bakterier. Hur många började man med?

Svar: 25

Förklaring: Antalet bakterier fördubblas varje dag, vilket betyder att varje dag så multipliceras antalet bakterier med 2. Med andra ord så har vi en exponentialfunktion med förändringsfaktorn 2. Vi kan då beskriva antalet bakterier som funktion av antal dagar enligt exponentialfunktionen g(x) = C \cdot 2^x där vi inte än vet vad C är. 

Något vi vet är efter 7 dagar så har vi 3200 bakterier. Eftersom vi har en funktion g(x) som beskriver antalet bakterier efter x antal dagar så kan vi skriva g(7) = 3200.

Om vi stoppar in x=7 i funktionens definition så får vi g(7) = C \cdot 2^7 = C cdot 128

Men g(7) ska ju vara lika med 3200! Vi får då ekvationen C \cdot 128 = 3200.

Det här är en ekvation som vi kan lösa för att ta reda på vad C är! Vi vill då få bort multiplikationen med 128 på vänstra sidan, vilket vi kan uppnå genom att dela båda sidor med 128:

\frac{C \cdot 128}{128} =\frac{3200}{128}.

På vänstersidan stryks 128, så vi har kvar bara C. Högersidan kan vi knappa in i räknaren och får att det blir 25. Alltså har vi C = 25.

Super! Nu kan vi stoppa in det värdet i funktionen g(x):

g(x) = 25 \cdot 2^x.

Nu kan vi använda funktionen g(x) för att avgöra hur många bakterier vi har efter vilket antal dagar som helst! Uppgiften frågar om hur många bakterier man började med, dvs innan några dagar har passerat alls. Det medför att x=0, så antalet bakterier ges av g(0) = 25 \cdot 2^0 = 25.

Alltså började man med 25 bakterier.

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är förändringsfaktorn i funktionen g(x) = 4 \cdot 1,8^x?

Svarsalternativ 1.1: x
Svarsalternativ 1.2: 4
Svarsalternativ 1.3: 1,8 (rätt)
Svarsalternativ 1.4: 0,8

Fråga 2: Vad är startvärdet i funktionen y(x) = 6 \cdot 1,5^x?

Svarsalternativ 2.1: x
Svarsalternativ 2.2: 6 (rätt)
Svarsalternativ 2.3: 1,5
Svarsalternativ 2.4: 0,5

Fråga 3: Du sätter in 300 kr i banken med en ränta på 5% per år. Vilken funktion beskriver situationen?

Svarsalternativ 3.1: f(x) = 1,05\cdot 300^x
Svarsalternativ 3.2: f(x) = 0,05 \cdot 300^x
Svarsalternativ 3.3: f(x) = 300 \cdot 1,05^x (rätt)
Svarsalternativ 3.4: f(x) = 300 \cdot 0,05^x



Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Mattehjälp för alla åldrar

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!