Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering är en teknik för att lösa andragradsekvationer. Den kan därför användas som ett alternativ till tex pq-formeln. Fördelen med kvadratkomplettering är att det är en algebraisk metod istället för en formel, och den har därför nytta även i andra områden, som tex när man vill räkna ut olika egenskaper hos grafen av en andragradsfunktion. Kvadratkomplettering bygger på att man använder kvadreringsregeln baklänges.

Räkneexempel och förklaringar

För att kunna använda kvadratkomplettering smidigare så kan vi skriva ner en kvadreringsregel:

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2.

Låt oss se med ett  exempel hur det kan användas för att lösa en andragradsekvation!


Exempel: Lös ekvationen x^2 + 2x + 1 = 4 .

Från kvadreringsregeln så kan man se att (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1

Men högerledet från kvadreringsregeln är ju samma som vänsterledet i ekvationen vi försöker lösa! Därför kan vi byta ut den delen av ekvationen med vänsterledet i kvadreringsregeln:

(x+1)^2 = 4

Nu är ekvationen lättare att lösa! Vi kan ta kvadratroten ur båda sidor \sqrt{(x+1)^2} = \pm \sqrt{4}

Förenklar vi båda sidor får vi x+1 = \pm 2

Och till sist kan vi subtrahera 1 från båda sidor för att flytta över ettan: x = - 1 \pm 2 och lösningarna är alltså x_1 = 1 , x_2 = -3

Det var ett exempel där vänstersidan av ekvationen redan var på formen i kvadreringsregeln. Men vad händer om den inte är det?


Exempel: Lös ekvationen x^2 + 6x + 5 = 0.

Låt oss kolla på vad kvadreringsregeln ger då a=3:

(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9

Nu ser vi att högersidan av kvadreringsregeln inte riktigt stämmer överens med vänstersidan av ekvationen. I båda har vi x^2 och även 6x, men i kvadreringsregeln har vi den konstanta termen 9 medan ekvationen har vi 5. Det vore ju väldigt fiffigt om det stod 9 istället för 5 i ekvationen, eftersom vi då kan använda kvadreringsregeln baklänges. För att uppnå detta lägger vi till 4 på båda sidor om ekvationen:

x^2 + 6x + 5 + 4 = 0 + 4

vilket förenklas till x^2 + 6x + 9 = 4

Nu har vi att vänstersidan av ekvationen är exakt samma som i kvadreringsregeln, och vi kan alltså stoppa in vänstersidan av kvadreringsregeln i ekvationen:

(x+3)^2 = 4

Härifrån kan vi använda våra ekvationslösningsfärdigheter! Vi tar roten ur båda sidor

x + 3 = \pm 2 x = -3 \pm 2

x_1 = -1 , x_2 = -5

Men hur vet man vad för a man ska använda i kvadreringsregeln? Om vi kollar på kvadreringsregeln igen

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

Så ser vi att vi har a på två ställen i högerledet – vi har termen 2ax och termen a^2. Från förra exemplet såg vi att vi kunde få den konstanta termen i ekvationen att matcha a^2 oavsett vad a är genom att lägga till något tal på båda sidor. Det som bestämmer vad a måste vara är alltså 2ax-termen. I en ekvation x^2 + px + q vill vi alltså sätta a så att px = 2ax, så att x-termen i ekvationen är samma som x-termen i kvadreringsregeln.


Exempel: Lös ekvationen x^2 + 8x + 7 = 0

Vi vill använda kvadreringsregeln, och därför behöver vi att x-termen i ekvationen är samma som i kvadreringsregeln. I ekvationen har vi 8x som alltså ska vara lika med 2ax, vilket betyder att  2 a = 8

Om vi delar båda sidor på två får vi a = 4.

Kvadreringsregeln säger då alltså att (x+4)^2 = x^2 + 8 x + 16.

Notera att x-termen blev 8x, vilket var exakt det vi ville ha! Nu ser vi att för att kunna använda kvadreringsregeln i ekvationen så behöver vi att den konstanta termen är 16. För att få den att bli 16 så lägger vi till 9 på båda sidor:

x^2 + 8 x + 7 + 9 = 0 + 9 och alltså x^2 + 8x + 16 = 9.

Nu är vänsterledet av ekvationen samma sak som högerledet i kvadreringsregeln, så vi kan använda kvadreringsregeln baklänges för att få att ekvationen blir (x+4)^2 = 9.

Och härifrån är de igen bara vanlig ekvationslösning. Vi tar kvadratroten ur båda sidor x+4 = \pm 3 och tar minus 4 x = -4 \pm 3x_1  = -1 , x_2 = -7

Om x-termen i ekvationen är negativ så kan man använda den andra kvadreringsregeln (x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2


Exempel: Lös ekvationen x^2 - 4x + 3 = 0.

Vi ser att x-termen är 4x vilket alltså ska vara lika med 2ax. Alltså har vi att 2a = 4 och därför a = 2.

Detta ger att kvadreringsregeln ger:

(x-2)^2 = x^2 - 4 x + 4.

Vi vill alltså ha att den konstanta termen i ekvationen är 4, vilket vi får om vi lägger till 1 på båda sidor:

x^2 -4x + 3 + 1 = 0 + 1 dvs x^2 - 4x + 4 = 1

Vi kan nu byta ut vänsterledet mot kvadreringsregel vänsterled:

(x-2)^2 = 1.

Och nu har vi igen en form som man kan lösa. Vi tar kvadratroten:

x - 2 = \pm 1 vilket ger x = 2 \pm 1 och alltså lösningarna x_1 = 1, x_2 = 3

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Lös ekvationen x^2 - 4x + 4 = 0

Svarsalternativ 1.1: x_1 = 2, \; x_2 = 2 (rätt)
Svarsalternativ 1.2: x_1 = -2, \; x_2 = 2
Svarsalternativ 1.3: x_1 = 0, \; x_2 = 2
Svarsalternativ 1.4: x_1 = 2, \; x_2 = 4

Fråga 2: Lös ekvationen x^2 - 2x - 8 = 0

Svarsalternativ 2.1: x_1 = 3, \; x_2 = -3
Svarsalternativ 2.2: x_1 = 2, \; x_2 = -2
Svarsalternativ 2.3: x_1 = 0, \; x_2 = 4
Svarsalternativ 2.4: x_1 = -2, \; x_2 = 4 (rätt)

Fråga 3: Lös ekvationen x^2 + 6x - 7 = 0

Svarsalternativ 3.1: x_1 = 1, \; x_2 = -7 (rätt)
Svarsalternativ 3.2: x_1 = 3, \; x_2 = 7
Svarsalternativ 3.3: x_1 = 0, \; x_2 = -7
Svarsalternativ 3.4: x_1 = 6, \; x_2 = 7



Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Mattehjälp för alla åldrar

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!