Talföljder

Talföljder är, lite som det låter, en följd av tal. Till exempel utgör talen
9, 6, 3, 2, 1, 4, 14, 18, 21, 22, … en talföljd.

En viktig egenskap hos talföljder är att varje tal i talföljden har en specifik plats. I talföljden ovan är till exempel första talet 9, andra talet 6, tredje talet 3 och så vidare. Därför kan man ofta beskriva en talföljd med en formel som ger vad för tal det är på en given plats.

En känd talföljd är Fibonaccitalen, där varje tal är summan av de två föregående:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Ett annat vanligt exempel på talföljder är primtalen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Räkneexempel och förklaringar för talföljder:

Exempel: Ange de 5 första talen till talföljden a_n = n+3

Svar: 4, 5, 6, 7, 8

Förklaring: I uttrycket a_n = n+3 så är a namnet på talföljden. vidare så är a_ndet  n:te talet i talföljden. Det vill säga, a_1 är det första talet i talföljden, a_2 är det andra talet i talföljden, a_3 är det tredje talet i talföljden och så vidare. Om vi nu stoppar in till exempel n=1 i uttrycket a_n = n+3 så får vi

a_1 = 1+3 = 4.

alltså är det första talet i talföljden 4. På samma sätt kan vi stoppa in n=2:

a_2 = 2+3 = 5.

så ser vi att det andra talet i talföljden är 5. På samma sätt kan vi fortsätta och beräkna att de fem första talen är 4, 5, 6, 7, 8.


Räkneexempel och förklaringar för standardavvikelse:

Exempel: Ange de 3 första talen till talföljden b_n = n^2-3

Svar: -2, 1, 6

Förklaring: Exakt samma princip gäller här.

Vi börjar med att stoppa in n=1 i uttrycket  och får

b_1 = 1^2-3 = 1 - 3 = -2.

Sedan stoppar vi in n=2:

b_2 = 2^2-3 = 4 - 3 = 1.

Och till sist stoppar vi in n=3:

b_3 = 3^2-3 = 9 - 3 = 6.

Så de tre första talen är -2, 1, 6.


Exempel: Ange det tusende talet i talföljden c_n = n/400

Svar: 2,5

Förklaring: Något som är viktigt att notera är att talföljder inte nödvändigtvis består av heltal.Den här talföljden c_n börjar till exempel med talen 0,0025; 0,005; 0,0075; 0,01;… och så vidare. Men nu vill vi ha det tusende talet, dvs vi vill ha c_n för n=1000.  Alltså stoppar vi in n=1000 i c_n = n/400 :

c_{1000} = 1000/400 = 2,5.

Vilket är svaret.


Exempel: Hitta formeln för talföljden 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,  …

Svar: d_n = 2n+2

Förklaring: Låt oss kolla på talen och se om ser ett mönster som sticker ut. En sak som man kanske märker är att alla talen är jämna. Inte bara det, utan talföljden verkar vara de jämna talen i ordning. Jämna tal kan skrivas som två gånger ett heltal. Ett första försök kanske då är att talföljdens formel vore 

 d_n = 2n.

Låt oss testa genom att stoppa in några tal:

d_1 = 2 \cdot 1 = 2,

d_2 = 2 \cdot 2 = 4,

d_3 = 2 \cdot 4 = 6,

d_4 = 2 \cdot 1 = 8,

osv. Vi har alltså inte riktigt samma talföljd som den vi söker. Det vi kan se är att varje tal i vårt försök är exakt två mindre än den verkliga talföljden. Om vi ökar alla tal med två, dvs

 d_n = 2n + 2.

Så får vi istället 

d_1 = 2 \cdot 1 = 4,

d_2 = 2 \cdot 2 = 6,

d_3 = 2 \cdot 4 = 8,

d_4 = 2 \cdot 1 = 10.

Exakt rätt talserie! Det är alltså formeln vi söker.

Den här talserien är ett exempel på en aritmetisk talföljd, en väldigt vanlig typ av talföljd!

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Rätt svar markeras i grönt.

Fråga 1: Ange det fjärde talet i talföljden s_n = n-1 .

Svarsalternativ 1.1: 1
Svarsalternativ 1.2: 2
Svarsalternativ 1.3: 3
Svarsalternativ 1.4: 4

Fråga 2: Ange det tionde talet i talföljden t_n = \frac{n+4}{2}

Svarsalternativ 2.1:  4
Svarsalternativ 2.2:  7
Svarsalternativ 2.3:  10
Svarsalternativ 2.4:  14

Fråga 3: Ange det tjugofemte talet i talföljden u_n = \sqrt{n}

Svarsalternativ 3.1: 2
Svarsalternativ 3.2: 3
Svarsalternativ 3.3: 4
Svarsalternativ 3.4: 5

Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Läxhjälp i alla ämnen

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!