Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden är en metod för att lösa ekvationssystem med flera variabler. För att förstå substitutionsmetoden är det viktigt att vi påminner oss om vad en ekvation faktiskt säger. En ekvation säger att det som står på vänster sida om likhetstecknet har exakt samma värde det som står på höger sida.

Till exempel: ekvationen $5a = 2b + 3c$ säger att $5a$ är exakt lika mycket som
$2b + 3c$ . Så om vi får informationen att $2b + 3c = 10$ , då vet vi att även $5a = 10$ , eftersom $5a$ och $2b + 3c$ är samma sak.

Substitutionsmetoden fungerar alltså genom att ersätta ett uttryck i en ekvation med ett annat uttryck. Det används framförallt för att få en av ekvationerna i ekvationssystemet till att bara ha en enda okänd, så att vi kan lösa den med vanlig ekvationslösning.

Räkneexempel och förklaringar för substitutionsmetoden:

Medelvärde är kanske det vanligaste lägesmåttet. Ett medelvärde går ut på att man lägger ihop alla tal, och sedan delar på antalet tal. På så sätt får man ett värde som hamnar mitt bland alla mätvärden man utgick från.

Exempel: Lös ekvationssystemet

$x + y = 10$ ,

y = 3

Svar: $x = 7$ , $y = 3$

Förklaring: Eftersom vi vet från den andra ekvationen att y är lika med 3, så kan vi ersätta y med 3 i den första ekvationen, och får då

x + 3 = 10

vilket ger

x = 7

Man brukar säga att vi substituerade y med 3.

Test: Vilket betyg får ditt barn i matte?

Gör vårt snabba mattetest och få en prognos!

Starta testet

Exempel: Lös ekvationssystemet

$y = x + 3$ ,

x + 2y = 12

Svar: $x = 2$ , $y = 5$

Förklaring: Den här gången visar första ekvationen att y är exakt samma sak som $x + 3$ , vilket betyder att vi kan ersätta (substituera) y med $x+3$ i den andra ekvationen:

x + 2(x + 3) = 12

Nu har vi en ekvation med bara x som vi kan lösa. Vi förenklar parantesen:

x + 2x + 6 = 12

sedan får vi

3x = 6

och alltså

x = 2

Eftersom vi nu vet att x är 2 kan vi substituera in det i den första ekvationen $y = x + 3$ :

y = 2 + 3

som blir

y = 5

Lösningen som uppfyller ekvationssystemet är därför

$x = 2$ , $y = 5$

I de flesta ekvationssystem som vi ställs inför kommer inte en av variablerna stå ensam i någon av ekvationerna. Då måste man själv lösa ut en variabel.

Exempel: Lös ekvationssystemet

$x + 2y = 5y - 3$ ,

2y + 3x = 13

Svar: $x = 2$ , $y = 3$

Förklaring: Vi måste själva lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det blir samma svar oavsett vilken variabel och ekvation vi väljer, men ibland kan det bli lättare uträkningar om man väljer den ena över den andra. Vi börjar med att lösa ut x ur den första ekvationen

x + 2y = 5y - 3

blir

$x = 3y - 3$ .

Vi kan nu ersätta x med $3y - 3$ i den andra ekvationen $2y + 3x = 13$ :

2y + 3(3y - 3) = 13

Vi förenklar parantesen

2y + 9y - 9 = 13

Vi förenklar

11y = 22

så

y = 2

Vi har nu hittat vad y är, och kan genom detta resultat räkna ut vad x är. Vi vet att y är samma sak som 2, och kan substituera in det i en av våra ursprungliga ekvationer. Man får välja om man vill substituera in det i den första eller andra ekvationen, låt oss ta den andra.

2y + 3x = 13

substituerar vi in $y = 2$ får vi

2\cdot2 + 3x = 13

Vi förenklar

4 + 3x = 13

Flyttar över fyran

3x = 9

och till sist delar vi på 3

$x = 3$ .

Lösningen till vårt ekvationssystem är alltså

$x = 2$ , $y = 3$

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Rätt svar markeras i grönt.

Fråga 1: Lös ekvationssystemet

$y = 5 , \quad x + y = 7$

Svarsalternativ 1.1: $x = 2$ , $y = 7$
Svarsalternativ 1.2: $x = 5$ , $y = 7$
Svarsalternativ 1.3: $x = 2$ , $y = 5$
Svarsalternativ 1.4: $x = 7$ , $y = 5$

Fråga 2: Lös ekvationssystemet

$y = 2x , \quad 4x - y = 6$

Svarsalternativ 2.1: $x = 3$ , $y = 6$ (rätt)
Svarsalternativ 2.2: $x = 4$ , $y = 8$
Svarsalternativ 2.3: $x = 6$ , $y = 3$
Svarsalternativ 2.4: $x = 8$ , $y = 4$

Fråga 3: Lös ekvationssystemet

$2y - 3x = x + 2 ,\quad3x - y = 3$

Svarsalternativ 3.1: $x = 4$ , $y = 9$
Svarsalternativ 3.2: $x = 1$ , $y = 8$
Svarsalternativ 3.3: $x = 14$ , $y = 2$
Svarsalternativ 3.4: $x = 5$ , $y = 6$