Polynom

Polynom är en typ av uttryck där man kombinerar termer med formen a x^b, där exponenten b är ett naturligt tal (ett icke-negativt heltal). Ett exempel på polynom är

3 x^5 - 2x + 4{,}5

Det här är ett polynom, eftersom varje term är på formen a x^b och b är ett naturligt tal. Specifikt så är första termen 3 x^5, där a = 3 och b = 5. Andra termen är -2x, där a = -2 och b = 1. Tredje termen är 4,5, där a = 4,5 och b = 0.

Även uttryck som kan förenklas till formen ovan räknas som polynom. Som exempel är x \cdot (x+3) ett polynom för att

x \cdot (x+3) = x^2 + 3x

När polynomet är skrivet som en kombination av a x^b-termer så säger man att det står på standardform. När det är skrivet i standardform kan man lista ut gradtalet för polynomet, vilket är den största exponenten i polynomet.

Räkneexempel och förklaringar för polynom

Exempel: Vad har polynomet x^2 + 5x för gradtal?

Svar: 2

Förklaring: Polynomet består av två termer. x^2 och 5x. Exponenten i x^2 är 2, och  exponenten i 5x är 1. Gradtalet är den största exponenten, vilket alltså är 2.


Exempel: Vad har polynomet x - x^3 + x^2 för gradtal?

Svar: 3

Förklaring: Den här gången består polynomet av tre termer: x, -x^3 och x^2. Exponenterna för respektive term är då 1, 3 och 2. Gradtalet är den största exponenten i polynomet, vilket är 3.


Exempel: vad har polynomet x^2 + 5x - x^2 för gradtal?

Svar: 1

Förklaring: Här får man se upp lite! Eftersom vi har två termer med samma exponent, så har vi möjlighet att förenkla uttrycket. För att göra det kan vi först byta plats på de två första termerna:

x^2 + 5x - x^2 = 5x + x^2 - x^2 

Vi har nu formen x^2 - x^2, vilket bara blir 0! Vårt polynom blir då

x^2 + 5x - x^2 = 5x

Alltså har vi bara en term i polynomet, 5x. Den termen har exponenten 1, så största exponenten i polynomet är 1. 1 är då även gradtalet!


Exempel: Vad har polynomet x^2 \cdot x - 3x för gradtal?

Svar: 3

Förklaring: Här får vi igen se upp lite! Den här gången är inte uttrycket skrivet i standardform. Specifikt så är inte första termen, x^2 \cdot x, skriven på formen a x^b. För att åtgärda detta kan vi förenkla första termen med potensregler:

x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3

Då blir får vi att polynomet kan skrivas om:

x^2 \cdot x - 3x = x^3 -3x

Nu är polynomet skrivet i standardform! Vi har två termer: x^3 och -3x. Dessa har exponenterna 3 och 1, så största exponent och gradtalet är 3.


Exempel: Skriv polynomet 5(x+3) i standardform

Svar: 5x + 15

Förklaring: Standardform för polynom har inga parenteser, så vi måste göra oss av med parenteserna. För att åstadkomma det så multiplicerar vi in femman i parentesen. Då får vi:

5(x+3) = 5 \cdot x + 5 \cdot 3

Eftersom 5*3 = 15 får vi alltså att svaret är

5x + 15

Exempel: Skriv polynomet x(3 -x) + 2x i standardform

Svar: -x^2 + 5x

Förklaring: Igen behöver vi förenkla parantesen. Vi gör det genom att multiplicera in x i parentesen:

x(3-x) = x \cdot 3 - x \cdot x

Förenklar vi det får vi 

x(3-x) = 3x - x^2

Vi kan nu stoppa det tillbaka in i polynomet:

x(3-x) + 2x = 3x - x^2 + 2x

Polynomet är inte riktigt i standardform än, eftersom vi har två termer, 3x och 2x, med samma exponent. Vi lägger ihop de två termerna:

3x + 2x = 5x

Så polynomet skrivet i standardform blir:

-x^2 + 5x

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är gradtalet för polynomet x-2?

Svarsalternativ 1.1: 0
Svarsalternativ 1.2: 1 (rätt)
Svarsalternativ 1.3: 2
Svarsalternativ 1.4: 3

Fråga 2: Vad är gradtalet för polynomet x^3 - 5x + x^2?

Svarsalternativ 2.1: 1
Svarsalternativ 2.2: 2
Svarsalternativ 2.3: 3 (rätt)
Svarsalternativ 2.4: 4

Fråga 3: Vad är gradtalet för polynomet (x^2 - x)*x ?

Svarsalternativ 3.1: 1
Svarsalternativ 3.2: 2
Svarsalternativ 3.3: 3 (rätt)
Svarsalternativ 3.4: 4



Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Mattehjälp för alla åldrar

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!