Matriser

En matris är en samling tal ordnade i vad som skulle kunna liknas vid en rektangulär tabell. Lite mer abstrakt så representerar matriser även linjära transformationer mellan vektorer. Detta gör matriser väldigt viktiga inom linjär algebra och därför förekommer matriser i vetenskap, ekonomi och till och med datorspelsgrafik!

Matriser har olika operationer som man kan utföra på dem. Man kan addera matriser, multiplicera matriser med ett tal med mera. Låt oss studera några vanliga matrisoperationer:

Matrisers storlek

Storleken på en matris anges enligt antal rader gånger antal kolumner.

Exempel: Vad är storleken för följande matris?

\begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 \\ -1 & 0,4 & 2 \end{pmatrix}

Svar: 2×3

Förklaring: Matrisen har två rader och tre kolumner, alltså är det en “2 gånger 3” matris.


Element

Talen som ingår i en matris kallas för matriselement. Vill man hänvisa till ett specifikt element så kan man indexera matrisen med raden och kolumnen som elementet tillhör.

Exempel: Vad är A_{3,2} i följande matris?

A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \\ 3 & 8 \end{pmatrix}

Svar: 8

Förklaring: Låt oss tolka uttrycket A_{3,2}

Först har vi A – det är matrisen i fråga. Sedan har vi två index. Första indexet (3) hänvisar till raden. Det är alltså tredje raden. Det andra indexet (2) hänvisar till kolumnen. Det är alltså andra kolumnen. Vi vill alltså ha elementet som är i tredje raden och andra kolumnen, vilket är 8.


Matrisaddition

Man kan addera två matriser. För att addera två matriser måste de vara av samma storlek. Då får man en ny matris, där varje element i den nya matrisen är lika med elementet på samma ställe från första matrisen plus elementet på samma ställe från andra matrisen. 

Exempel: Vad är resultatet av följande matrisaddition?

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Svar: \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

Förklaring: För att addera två matriser så adderar man varje element i den ena matrisen med motsvarande element i den andra matrisen. Alltså får vi:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2+0 & 3+(-4) \\ 2+1 & (-1)+(-1) \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

Exempel: Vad är resultatet av följande matrisaddition?

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -1 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}

Svar: Går inte att utföra

Förklaring: Dessa två matriser har olika storlek; den första är en 2×2 matris och den andra är en 3×2 matris. Alltså kan vi inte utföra matris-addition..


Skalärmultiplikation

Man kan multiplicera matriser med ett vanligt tal. Då får man en ny matris där varje element har multiplicerats med talet i fråga. Talet man multiplicerar med kallas för skalär (man kan tänka det som att den ändrar skalan).

Exempel: Vad är resultatet av följande skalärmultiplikation?

3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}

Svar: \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}

Förklaring: Skalärmultiplikation innebär att vi multiplicerar varje tal i matrisen med skalären. Alltså får vi:

3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot (-2) & 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Rätt svar markeras i grönt.

Fråga 1: Vad är storleken hos matrisen  

\begin{pmatrix} 18 & 12 \\ -3 & -3 \\ -6 & -3 \\ -1 & -8 \end{pmatrix}

Svarsalternativ 1.1: 8
Svarsalternativ 1.2: 18
Svarsalternativ 1.3: 2×4
Svarsalternativ 1.4: 4×2

Fråga 2:  Vad är elementet B_{1,2} i matrisen

\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & -3 \\ -7 & -3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Svarsalternativ 2.1:  1
Svarsalternativ 2.2:  2
Svarsalternativ 2.3:  -7
Svarsalternativ 2.4:  -3

Fråga 3: Vad är elementet B_{3,3} i matrisen  

\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -7 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 8 \end{pmatrix}

Svarsalternativ 3.1: 1
Svarsalternativ 3.2: 2
Svarsalternativ 3.3: -7
Svarsalternativ 3.4: 8

Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Läxhjälp i alla ämnen

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!