Logaritmlagar

Vad är logaritmlagar?

De tre logaritmlagarna ser ut så här:

\lg a^b = b \lg a

\lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b \lg \left ( \frac{a} {b} \right ) = \lg a - \lg b

Räkneexempel och förklaringar på logaritmer och logaritmlagar

Exempel: Förenkla \lg 7^{11}

Svar: 11\cdot  \lg 7

Förklaring: Vi vill förenkla ett logaritmuttryck, och då är det en väldigt bra idé att kolla om någon av logaritmlagarna går att applicera! I det här fallet så har vi, inuti logaritmen, ett tal upphöjt till ett annat tal. Då finns det ju en logaritmlag som säger att \lg a^b = b \lg a där vänstersidan är exakt den form vi har i uttrycket! 

Om vi nu vill använda den logaritmlagen, så måste vi hitta vad i uttrycket som är a och vad som är b. Vi ser att \lg a^b stämmer överens med \lg 7^{11} om vi sätter a=7 och b = 11

Då får vi från logaritmlagen att \lg 7^{11} = 11 \cdot \lg 7 vilket är svaret!

Exempel: Förenkla uttrycket \lg (6x) - \lg 6

Svar: \lg x

Förklaring: Det finns två sätt att förenkla uttrycket, beroende på vilken logaritmlag man vill använda. Det ena sättet går ut på att man märker att \lg (6x) är på formen \lg (a \cdot b), där vi identifierar att a=6 och b = x. Vi kan då använda logaritmlagen \lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b och får då att \lg (6 x) = \lg 6 + \lg x.

Om vi stoppar in det i uttrycket i frågan får vi \lg (6x) - \lg 6 = \lg 6 + \lg x - \lg 6

Nu har vi ett uttryck som dels har en \lg 6-term, och även har en -\lg 6-term. Vi har alltså \lg 6 minus sig själv! De två termerna tar alltså ut varandra:

\lg 6 + \lg x - \lg 6 = \lg x.

Kvar har vi alltså bara \lg x, vilket är svaret.

Men det finns ett till sätt att förenkla uttrycket! Om vi kollar på uttrycket igen \lg (6x) - \lg 6 så kan vi se att vi har en logaritm minus en annan logaritm! Vi borde då kunna använda logaritmlagen \lg \left ( \frac{a} {b} \right ) = \lg a - \lg b.

Vi behöver nu identifiera vad som är a och vad som är b, vilket vi kan göra genom att se vilken term som är negativ och vilken som är positiv. Eftersom \lg (6x) är den positiva termen ur uttrycket i uppgiften, så borde den motsvara den positiva termen i logaritmlagen \lg a. Alltså får vi att a = 6x. På samma sätt får vi att den negativa termen i uttrycket är - \lg 6, vilket ska motsvara - \lg b, så vi får vi får b=6. Om vi stoppar in det här i logaritmlagen får vi \lg (6x) - \lg (6) = \lg \left ( \frac{6x} {6} \right ).

Super! Men vi är inte klara än, för vi kan vidare förenkla uttrycket inuti logaritmen, dvs uttrycket 6x/6. Vi har ju att x både multipliceras med 6, och delas med 6. Om vi kommer ihåg hur gånger och delat förhåller sig, så ser vi att dessa två operationer tar ut varandra! Man brukar säga att man stryker 6. Alltså har vi \frac{6x} {6} = x.

Om vi stoppar tillbaka det i uttrycket så får vi alltså:

\lg \left ( \frac{6x} {6} \right ) = \lg x vilket är samma svar som vi fick med det första sättet! 

---

Exempel: Förenkla uttrycket \lg (6x) - \lg 6

Svar: 2

Förklaring: Att beräkna en logaritm för hand är ganska enkelt förutsatt att talet man tar logaritmen av är på formen 10^a för ett heltal a, eftersom \lg 10^a = a. Ingen av logaritmerna i uppgiften har den formen, så vi kan inte använda det rakt av. Så det vi vill göra nu, är att skriva om uttrycket med hjälp av logaritmlagar, för att se om vi får det på formen vi vill ha. Från uppgiften ser vi att uttrycket består av två logaritmer plus varandra, så vi kan använda logaritmlagen \lg (a \cdot b) = \lg a + \lg b

Vi kan se att om vi identifierar a=20 och b=5 så är uttrycket ur uppgiften samma som högersidan av logaritmlagen. Vi stoppar in dessa värden och får:

\lg 20 + \lg 5 = \lg (5 \cdot 20)

Vi kan nu utföra multiplikationen vi har inuti logaritmen:

\lg (5 \cdot 20) = \lg 100

Nu har vi en logaritm som vi kan beräkna! Eftersom 100 är samma sak som 10^2 så har vi att \lg 100 = \lg 10^2 = 2

Alltså är svaret 2.