Funktioner

En funktion beskriver hur en variabel beror på en annan. Om vi till exempel har y = 5x + 3 så är y en funktion av x. För att förtydliga att det är en funktion så skriver man ofta y(x) = 5x +3. Om man vill ha ett visst värde på x, till exempel x = 4, så kan man skriva det som y(4).

En funktion har även definitionsmängd och värdemängd. Definitionsmängden är alla tal som man kan använda som x. Man kan begränsa definitionsmängden när man definierar en funktion om man bara bryr sig om ett visst omfång, eller låta den vara så stor som möjligt. Värdemängden är alla tal som funktionen kan anta, och beror ofta på definitionsmängden.

Räkneexempel och förklaringar för funktioner

Exempel: Vi har funktionen f(x) = 2 \cdot x + 3

a) Vad är f(4)?

Svar: 11

Förklaring: f(4) innebär att vi vill stoppa in x = 4 i funktionen. När vi gör det får vi

f(4) = 2 \cdot 4 + 3

Förenklar vi så får vi alltså

f(4) = 8 + 3 f(4) = 11

b) Vad är f(-1)?

Svar: 1

Förklaring: f(-1) betyder att vi vi vill stoppa in x = -1 i funktionen. Då får vi

f(-1) = 2 \cdot (-1) +3 f(-1) = -2 + 3 f(-1) = 1

c) Vad är f(2) + f(-2)?

Svar: 6

Förklaring: Vi börjar med att stoppa in x = 2 i funktionen och får

f(2) = 2 \cdot 2 + 3 f(2) = 4 + 3 f(2) = 7

Vi stoppar sedan in x = -2 och får

f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 f(-2) = -4 + 3 f(-2) = -1

Om vi nu summerar dessa två värden får vi:

f(2) + f(-2) = 7 + (-1) f(2) + f(-2) = 6

Exempel: Vi kollar nu på funktionen g(x) = x^3 - 2x

a) Vad är g(3)?

Svar: 21

Förklaring: Vi stoppar in 3 i funktionen:

g(3) = 3^3 - 3 \cdot 2 g(3) = 27 - 6 g(3) = 21

b) Vad är g(2x)?

Svar: 8 x^2 - 4x

Förklaring: Den här kanske ser lite mer läskig ut, men det är exakt samma princip. Vi byter ut x mot 2x i funktionen och får

g(2x) = (2x)^3 - 2 \cdot (2x)

Vi börjar med att förenkla första termen:

(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3

Andra termen blir:

2 \cdot (2x) = 4x

så om vi sammanställer så får vi

g(2x) = 8 x^3 - 4x

Räkneexempel och förklaringar för definitionsmängd och värdemängd

Exempel: Vad är värdemängden för funktionen q(x) = x^2.

Svar: q(x) \geq 0

Förklaring: Eftersom ingen definitionsmängd är angiven så antar vi att definitionsmängden är hela tallinjen. Eftersom minus gånger minus blir plus så kommer inte x^2 bli negativ, vare sig då x är negativ eller positiv. Däremot så kan x^2 bli vilket positivt tal som helst. Det kan även bli 0 eftersom 0^2 = 0. Därför är värdemängden q(x) \geq 0.


Exempel: Vad är definitionsmängden för funktionen h(x) = \frac{1}{x-2}?

Svar: Hela tallinjen förutom x = 2

Förklaring: Här frågas det om definitionsmängd utan någon begränsning från till exempel värdemängden. Vi är då ute efter så stor definitionsmängd som möjligt, det vill säga alla tal som går att stoppa in i formeln. Men finns det några tal som inte går att stoppa in i formeln? Det vi måste komma ihåg nu är att det inte går att dela med 0! Alltså kan inte x vara något värde där nämnaren i funktionen blir 0. Nämnaren i funktionen är x-2 så division med 0 sker när:

x-2 = 0 x = 2

Alltså kan inte x = 2! Definitionsmängden för h(x) är därför alla tal utom talet 2.


Exempel: Vi har funktionen p(x) = 3x - 1 med definitionsmängden 0 \leq x \leq 4. Vad är värdemängden?

Svar: -1 \leq p(x) \leq 11

Förklaring: Den här gången har vi en given definitionsmängd som begränsar funktionen! Värdemängden är då alla tal som funktionen kan ge på den givna definitionsmängden. Eftersom funktionen är linjär räcker det att man kollar på gränserna av definitionsmängden. Dvs x=0 är ena gränsen för definitionsmängden, så p(0) kommer vara ena gränsen för värdemängden. På samma sätt är x=4 den andra gränsen för definitionsmängden, så p(4) är den andra gränsen för värdemängden. Vi har att

p(0) = 3 \cdot 0 - 1 p(0) = 0 - 1 p(0) = -1

vilket är ena gränsen, och

p(4) = 3 \cdot 4 - 1 p(4) = 12 - 1 p(4) = 11

som den andra gränsen. Värdemängden för den givna definitionsmängden är alltså -1 \leq p(x) \leq 11.

Övningsuppgifter

Frågor med svarsalternativ:

Fråga 1: Vad är f(5) för funktionen f(x) = 2x - 3?

Svarsalternativ 1.1: 10
Svarsalternativ 1.2: 9
Svarsalternativ 1.3: 8
Svarsalternativ 1.4: 7 (rätt)

Fråga 2: Vad är s(-1) i funktionen s(x) = x \cdot x - x ?

Svarsalternativ 2.1: 0
Svarsalternativ 2.2: 1
Svarsalternativ 2.3: -1 (rätt)
Svarsalternativ 2.4: 2

Fråga 3: Vad är värdemängden för funktionen t(x)=x-3

Svarsalternativ 3.1: Alla tal på tallinjen (rätt)
Svarsalternativ 3.2: Alla tal förutom t(x) = 3
Svarsalternativ 3.3: t(x) > 3
Svarsalternativ 3.4: t(x) < 3



Så hjälper Allakando dig till toppresultat i skolan

Plugga högskoleprov

Mattehjälp för alla åldrar

Slipp stressen och höj betygen med en personlig studiecoach! Allakando har över 15 års erfarenhet och hjälper varje år 26 000+ elever.

Plugga till högskoleprovet

Effektiva kurser som höjer betygen

Lär dig hela nästa års matte på bara fem halvdagar, kom förbered till nationella proven och mycket mer!

Plugga högskoleprovet

Allt du behöver inför högskoleprovet

Plugga på tusentals uppgifter med förklaringar, videofilmer och guider i vår webbkurs. Gå en intensivkurs eller få en personlig HP-coach!